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一、三角形中常见辅助线的添加 1.与角平分线有关的 （1）可向两边作垂线 （2）可作平行线，构造等腰三角形 （3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形 2.与线段长度相关的 （1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可。 （2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可。 （3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。 （4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。 3.与等腰等边三角形相关的 （1）考虑三线合一 （2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60° 二、四边形中常见辅助线的添加 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形。在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。下面介绍一些辅助线的添加方法。 1.和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多性质可以利用，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。 （1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形 （2）利用两组对边平行构造平行四边形 （3）利用对角线互相平分构造平行四边形 2.与矩形有关辅助线作法 （1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题 （2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题。和矩形有关的试题的辅助线的作法较少。 3.和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定理解决问题。 （1）作菱形的高 （2）连结菱形的对角线 4.与正方形有关辅助线的作法 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多。解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线。 三、圆中常见辅助线的添加 1.遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连接过弦的端点的半径。 作用： ①利用垂径定理 ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系 ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量 2.遇到有直径时，常常添加（画）直径所对的圆周角 作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形 3.遇到90度的圆周角时，常常连结两条弦没有公共点的另一端点 作用：利用圆周角的性质，可得到直径 4.遇到弦时，常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点 作用：①可得等腰三角形 ②据圆周角的性质可得相等的圆周角 5.遇到有切线时，常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） 作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形 或常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理 6.遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段 作用：若OA=r，则l为切线 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径） 作用：只需证OA⊥l，则l为切线 （3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线 7.遇到两相交切线时（切线长） 常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点 作用：据切线长及其它性质，可得到 ①角、线段的等量关系 ②垂直关系 ③全等、相似三角形 8.遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段 作用：利用内心的性质，可得 ①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线 ②内心到三角形三条边的距离相等 9.遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 作用：外心到三角形各顶点的距离相等 10.遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题） 常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线 作用：①利用切线的性质；②利用解直角三角形的有关知识 11.遇到两圆相交时 常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等 作用：①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识 ②利用圆内接四边形的性质 ③利用两圆公共的圆周的性质 ④垂径定理 12．遇到两圆相切时 常常作连心线、公切线 作用：①利用连心线性质；②切线性质等 13.遇到三个圆两两外切时 常常作每两个圆的连心线 作用：可利用连心线性质 (责任编辑：admin) |