三角形中位线定理和逆定理
http://www.newdu.com 2025/09/11 08:09:51 初三网 admin 参加讨论
三角形中位线定理是三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。下面整理了三角形中位线定理和逆定理，供大家参考。  三角形中位线定理 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。 证明：已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。求证DE平行于BC且等于BC/2 过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。 ∵CG∥AD ∴∠A=∠ACG ∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号） ∴△ADE≌△CGE （A.S.A) ∴AD=CG(全等三角形对应边相等) ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG 又∵BD∥CG ∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴DG∥BC且DG=BC ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立 逆定理 逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。 证明：∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2 ∴AD=AB/2，AE=AC/2，即D是AB中点，E是AC中点。 逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线 证明：取AC中点E'，连接DE'，则有 AD=BD，AE'=CE' ∴DE'是三角形ABC的中位线 ∴DE'∥BC 又∵DE∥BC ∴DE和DE'重合（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） ∴E是中点，DE=BC/2 注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线。 (责任编辑：admin) |
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