2012年数学学习方法：四边形知识解读
http://www.newdu.com 2025/07/05 08:07:26 互联网 佚名 参加讨论
一、主要知识点 1、平行四边形的性质和判定 （1）平行四边形的性质：①对边平行；②对边相等；③对角相等、邻角互补；④对角线互相平分；⑤中心对称图形（两条对角线的交点是对称中心）。 （2）平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形；②两组对边分别相等的四边形；③一级对边平行且相等的四边形；④两组对角分别相等的四边形；⑤对角线互相平分的四边形。 2、特殊平行四边形的性质和判定 表1
3、特殊平行四边形与平行四边形的关系 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系如图1所示。 二、例题讲解 例1 如图2，在ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB。 （1）试证明：四边形AFCE是平行四边形。 （2）若去掉条件“∠DAB=60°”，（1）的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。 思路分析：（1）由条件可知EC∥AF，要证四边形AFCE是平行四边形，只需证明EC=AF即可。即只需证明ED=BF。而利用条件可证明△AED、△CFB都是等边三角形，从而命题得证。（2）要探讨四边形AFCE是否仍然是平行四边形，只需使用（1）中的解决办法，但在证明ED=BF时，必须证明它们所在的三角形全等。 解：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，∠DCB=∠DAB=60°，所以∠ADE=∠CBF=60°。 因AE=AD，CF=CB，故△AED和△CFB都是等边三角形。因EC=CD+DE=CD+AD，AF=AB+BF=AB+BC，故EC=AF。 又AB∥CD，故EC∥AF，所以四边形AFCE是平行四边形。 （2）上述结论依然成立，证明如下： ∵AE=AD，CF=CB，∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF。 又∵∠ADE=∠DAB=∠BCD=∠CBF。 ∴∠AED=∠CFB。 又∵AD=BC，∴△ADE≌△CBF（AAS）。ED=FB。 下同（1），四边形AFCE是平行四边形。 方法规律：要证明一个四边形是平行四边形，方法有五种，要结合题设，做出恰当选择。本题中已有一组对边平行，那么只需要再证明这一组对边相等即可（证明另一组对边平行也可以，但难度较大）。 例2 如图3，在四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF。 （1）若四边形AECF是平行四边形，试证明：四边形ABCD是平行四边形． （2）若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗?为什么? （3）若四边形AECF是矩形，试判断四边形ABCD是否为矩形，不必写理由。 思路分析：由于点E、F都在四边形ABCD的对角线上，且“BE=DF”这个条件也与对角线BD有关，故考虑从对角线的角度去判断四边形ABCD的形状。 解：（1）因为AO=CO，EO=FO，BE=DF，所以BE+EO=DF+FO，即BO=DO，所以四边形ABCD为平行四边形． （2）因为AECF是菱形，所以AC⊥BD． 又由（1）知，四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形． （3）四边形ABCD不是矩形（因为尽管四边形AECF的对角线相等，但四边形ABCD的对角线显然就不相等了）． 方法规律：本题设置的三个小问题，考查了平行四边形、矩形、菱形的判定和性质．这些特殊四边形的判定方法和性质都可以从边、角、对角线考虑，因而证明方法也不唯一．比如，也可证明△AFD≌△CEB（SAS），△ABE≌△CDF（SAS）。 三、考题演练 1、下列命题中的假命题是。 A、一组邻边相等的平行四边形是菱形 B、一组邻边相等的矩形是正方形 C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D、一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 2、如图4，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是 ，△BPD的面积是 。 3、如图5，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是且AB、BD、CD、AC的中点．要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是 。 4、如图6，在ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，且分别交CD于点E、F。AE、BF相交于点M。 （1）试说明AE⊥BF。 （2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明。  参考答案 |