2020初中数学之因式分解（一）
http://www.newdu.com 2025/07/05 11:07:24 中考网 佚名 参加讨论
今天我们开始讲因式分解。 以我对初中数学的理解，因式分解学通了，那么整个中学阶段所有的计算你都过关了，这个说法毫不夸张——换句话说，这是决定你计算能力巅峰的一个章节。 然而在学校里，现在这个内容分配的课时和它在整个中学数学中的地位是不相称的。所以我将用很长很长的篇幅来详细讲解因式分解及其延伸知识。 有人会说是不是小题大做？ 你如果仔细研究一下高考数学的大题，特别是解析几何和函数的题目，简直就是各种因式分解的运用，这是直接的联系；至于间接联系那就不胜枚举了，甚至到了大学学高等数学的不定积分的时候，还要用因式分解来进行裂项呢。 因式分解的方法有很多，最根本的就是：公式法。 多项式的乘法是种很有意思的运算。除法当然是它的逆运算，而因式分解也可以看成是一种逆运算。而逆运算的重要性前面已经讲过了，这里就不再讲了。 你！想！得！美！ 逆运算对于计算的检查来说绝对是神兵利器！用相同的方法检查是大忌！检查最好的办法就是逆运算而不是： 一！题！多！解！ 重要的事情别说三遍，三十遍贼老师都能给你念叨过去。 不是我上年纪爱唠叨。有喜欢乒乓球运动的家长知道，高手的成长过程中，机械地重复一个技术动作是再平常不过的事情，通过成千上万次地练习，让肌肉产生记忆，动作不会变形。 同样的，对于重要的理念，在整个系列中我会时不时地提起，确保作为家长的你把这种正确的理念传递给孩子。  什么？就这么点？ 对啊，就这么点，欧几里得五个公设还搞出了平面几何呢。。。 所以不要看不起这几个公式，组合在一起就是千变万化——当然，这里还有一些其他的分解技巧。 最基本的叫分组分解法。 我一直强调的是，任何方法、概念、定义、定理，一定要抓住其本质。所谓的分组分解，就是指待分解的因式经过一定的排列组合之后，可以提取出公因式来。 没错，敲黑板划重点：公因式。 所以，这确实是因式分解里最简单的一种——因为你只要花点笨力气，就一定能做出来。 比如我们先来看因式分解： 只要你有把子力气，就可以进行多次尝试： 这不就试出来了？ 当然，这不是我们的终极目的，我们希望的是：一次成型！ 这个，有难度。 我们知道，数学难就难在你在做题目的时候是不会有这么明确的指向的。那么多技巧综合运用，我怎么知道该用哪种方法，该怎么分组？！ 问题是你连简单的都没练好，怎么可能复杂的能看穿呢？ 就分组分解法来说，或者再具体一点，就上面这个例子，我们看到这个式子里有两个字母，所以如果你把所有的字母都岔开，分成的组各包含一个字母，就像题目本身那样，这个一定是错误的分解方式——一组只包含字母a，一组只包含字母b，公因式？连字母公用都做不到。 第二，次数相同的尽量在一起。对于高次的多项式，我们有平方差立方差，立方和等等公式——前提是大家次数是相同的项凑在一起，即所谓的齐次多项式。我们所有的公式里是没有高低次幂混搭在一起走波西米亚风的，一定是整整齐齐的。 有了这两条，直接就能把正确的分组情况给写出来了。 我们再来看一个。 按照之前所讲的办法，首先把字母岔开，然后齐次项。。。 等等，这个就是齐次多项式啊？！ 这就是传说中的稍微变一变就束手无策？ 齐次多项式不假，这个时候我们还有个对称性的想法，总是和考虑的嘛： 原式 剩下的就好办了。 最后再来一个带着化归的分组分解： 既然叫分组分解，那么这个时候又该怎么办呢？ 这个时候好像前面讲的又用不上了。。。 数学永远就是这么尴尬。那这个时候该怎么办？ 想想自己手上有什么！（字数太多打感叹号太累了） 既然这个多项式一个减号都没有，那么我们的公式可用范围立马缩小了；而且这个多项式是二次的，那么所有立方的公式也用不了了；于是只剩下和的平方的公式了。 是不是很合理？ 然而和的平方的公式只有三项啊！而且只有两个字母啊！ 那就先挑出三项只有两个字母满足和的平方的公式再说啊，我们把式子改写成： 先把前三项用起来： 我们发现，中间两项又有公因式了。什么？为什么不用最后两项？ 不对称，看了难受。。。 这个时候，答案呼之欲出了，把x+y当成一个整体之后，这又可以走一波和的平方的公式了！ 家长在指导分组分解的时候，一定要注意几个原则：字母岔开、对称、手上的工具！ 不要光说多试试，再看看。要明确告诉孩子怎么试，怎么看。哪怕是没有头绪地进行尝试，也要让孩子有顺序地试，就像 的分解过程那样尝试，保留所有尝试的记录，不要重复尝试，也不要遗漏。 贼老师，怎么又是不重复，不遗漏？ 你，上道了。 (责任编辑：admin) |
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