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2023年初中数学知识点总结 二次函数

http://www.newdu.com 2025/01/07 05:01:09 中考网 佚名 参加讨论


    一、定义与定义表达式
    一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c
    (a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
    二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
    二、二次函数的三种表达式
    一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
    顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h，k)]
    交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A(x₁ ，0)和 B(x₂，0)的抛物线]
    注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
    h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
    三、二次函数的图像
    在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
    四、抛物线的性质
    1、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。
    对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
    2、抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
    3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
    当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。
    4、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
    当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;
    当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。
    5、常数项c决定抛物线与y轴交点。
    抛物线与y轴交于(0，c)
    6、抛物线与x轴交点个数
    Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
    Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
    Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)
    五、二次函数与一元二次方程
    特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，
    当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0
    此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
    1、二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
    


    当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
    当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.
    当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;
    当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
    当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
    当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
    因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
    2、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
    3.、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小.
    4、抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
    (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);
    (2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
    (a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|
    当△=0.图象与x轴只有一个交点;
    当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.
    5、抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
    顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.
    6、用待定系数法求二次函数的解析式
    (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
    y=ax^2+bx+c(a≠0).
    (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).
    (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).
    7、二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.
     (责任编辑：admin)

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