2015中考数学复习指导 勾股定理解法指导(2)
http://www.newdu.com 2025/09/20 12:09:04 中考网 佚名 参加讨论
证法3 如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等： △AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB． 设五边形ACKDE的面积为S，一方面S=SABDE+2S△ABC， ① 另一方面 S=SACGF+SHGKD+2S△ABC． ②由①，② 所以 c2=a2+b2． 关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名． 利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论． 定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍． 证 (1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D， 则CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中， AB2=AD2+BD2， ① 在直角三角形ACD中， AD2=AC2-CD2， ②又 BD2=(BC-CD)2， ③②，③代入①得 AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2 =AC2-CD2+BC2+CD2-2BC?CD =AC2+BC2-2BC?CD，即 c2=a2+b2-2a?CD． ④ (2)设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影．在直角三角形ABD中， AB2=AD2+BD2， ⑤ 在直角三角形ACD中， AD2=AC2-CD2， ⑥又 BD2=(BC+CD)2， ⑦将⑥，⑦代入⑤得 AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2 =AC2-CD2+BC2+CD2+2BC?CD =AC2+BC2+2BC?CD，即 c2=a2+b2+2a?cd． ⑧综合④，⑧就是我们所需要的结论 特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述： 因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)． 由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中， (1)若c2=a2+b2，则∠C=90°； (2)若c2＜a2+b2，则∠C＜90°； (3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°． 勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用 (责任编辑：admin) |
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