2015中考数学复习指导 勾股定理解法指导(3)
http://www.newdu.com 2025/09/20 12:09:01 中考网 佚名 参加讨论
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例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2． 分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE． 证 因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边，所以Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)， 所以 AF=AB． ① 在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所AG=FG， AF2=AG2+FG2=2FG2． ② 由①，②得AB2=2FG2． 说明 事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了． 例2 如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)． 证 过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内)．由广勾股定理，在△ABM中， AB2=AM2+BM2+2BM?MD． ① 在△ACM中， AC2=AM2+MC2-2MC?MD． ② ①+②，并注意到MB=MC，所以 AB2+AC2=2(AM2+BM2)． ③ 如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式． 推论 △ABC的中线长公式： 说明 三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式．①′，②′，③′中的ma，mb，mc分别表示a，b，c边上的中线长． c2=a2+b2． (责任编辑：admin) |
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