一次函数定义:一般地,形如y=kx+b(k、b是常数 ,k≠0)的函数,叫一次函数。 (存在条件: ①两个变量x、y, ②k、b是常数且k≠0, ③自变量x的次数是1,④自变量x的是整式形式) 一次函数与正比例函数关系: 正比例函数包含于一次函数,即正比例函数是一次函数;正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。 一次函数性质:以下各条性质反之也成立。 ①图像形:是一条直线。称为直线y=kx+b ②象限性: 当k>0、b>0时,直线经过第一、二、三象限,不过四象限。 当k>0、b<0时,直线经过第一、三、四象限。不过二象限 当k<0 、b>0时,直线经过第一、二,四象限。不过三象限 当k<0 、b<0时,直线经过第二,三、四象限。不过一象限 ③增减性:当k>0时,直线从左向右上升,随着x的增大(减小) y也增大(减小) 当k<0时,直线从左向右下降。随着x的增大(减小) y反而而减小(增大) ④连续性:由于自变量取值是全体实数,所以图像具有连续性。(没有最大或最小值) ⑤截距性; 当b>0时,直线与y轴交于y轴正半轴(交点位于轴上方) 当b<0时,直线与y轴交于y轴负半轴(交点位于轴下方) ⑥倾斜性:︱k︱越大,直线越靠向y轴,与x轴正方向的夹角度数越大,越陡。 ⑦平移性; 直线y=kx+b 当b>0时,是由直线y=kx 向上平移得到的。 当b<0时,是由直线y=kx 向下平移得到的。 ⑧平行性: ,当 时, ∥ 待定系数法:先设出函数解析式,在根据条件确定解析式中的未知的系数,从而写出这个式子的方法,叫待定系数法。 用待定系数法确定解析式的步骤: ①设函数表达式为:y=kx 或 y=kx+b ②将已知点的坐标代入函数表达式,得到方程(组) ③解方程或组,求出待定的系数的值。 ④把的值代回所设表达式,从而写出需要的解析式。 注意; 正比例函数y=kx只要有一个条件就可以。而一次函数y=kx+b需要有两个条件。 一次函数与一元一次方程的关系 一元一次方程ax+b=0(a,b为常数,且a≠0)可看作一次函数y=ax+b的函数值是0的一种特例,其解是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标,所以解一元一次方程ax+b=0可以转化为当一次函数y=ax+b的值为0时,求相应自变量x的值,因此可以利用图像来解一元一次方程。 求直线y=kx+b与x轴交点时,可令y=0,得到一元一次方程kx+b=0,解方程得x=- ,则- 就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。 反过来解一元一次方程也可以看作是求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标的值。 一次函数与一元一次不等式的关系 一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,且a≠0)可看作一次函数y=ax+b的函数值大于0或小于0的情形,所以解一元一次不等式可以转化为当一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求相应自变量x的范围,因此可以利用图像来解一元一次不等式。 一次函数y=kx+b,当y>0时,成为一元一次不等式kx+b>0; 一次函数y=kx+b,当y<0时,成为一元一次不等式kx+b<0; kx+b>0的解集是一次函数y=ax+b的函数值为正值时的自变量x的取值范围,对应函数图像在x轴上方; kx+b<0的解集是一次函数y=ax+b的函数值为负值时,自变量x的取值范围,对应函数图像在x轴下方。 一次函数与二元一次方程(组)的关系 每个二元一次方程都可以转化为一个一次函数,对应着一条直线;二元一次方程组可以转化为两个一次函数,对应着两条直线。从“数”的角度看是解方程组的过程,从“形”的角度看,解方程组可以看作两条直线交点坐标,因此可以利用图像来解二元一次方程组。 二元一次方程 kx-y+b =0 (k≠0 ) 的解与一次函数 y=kx+b (k≠0 )图像上点坐标是一一对应的。 用图像求二元一次方程(组)的近似解方法 ①先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式: 和 ②建立平面直角坐标系,画出这两个一次函数的图像; ③写出交点的横纵坐标,横坐标的值就是方程组x的解,纵坐标的值就是方程组y的解 ④写出方程组的解。 (责任编辑:admin) |