  由于格式问题此试题可能会出现乱码的情况 为了方便您阅读请点击右上角的全屏查看 2018邯郸市中考数学压轴试题 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 2．cos30°的值为（ ） A．1 B．  C． D． 3．在反比例函数  的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（ ）A．﹣1 B．1 C．2 D．3 4．如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，且S四边形DBCE=8S△ADE． 那么AE：AC的值为（ ）  A．1：8 B．1：4 C．1：3 D．1：9 5．（邯郸中考数学）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=  ，则BC的长是（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 6．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（ ）  A．30° B．45° C．60° D．75° 7．如图，D是△ABC中AC边上的一点，根据下列条件不可推出△BDC∽△ABC的是（ ）  A．∠A=∠DBC B．∠ABC=∠BDC C．BC2=AC•DC D．AB•CD=BC•BD 8．已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值（ ） A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≥1 9．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（ ）  A．只有1个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．有无数个 10．设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（ ） A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤3 二、（邯郸中考数学）填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11．）函数y=  （x﹣1）2+3，当x 时，函数值y随x的增大而增大．12．）如果  ，那么 = ．13．）如图将半径为4米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 米．  14．）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论： ①a+b+c=0；②4a+b=0；③abc＜0；④4ac﹣b2＜0；⑤当x≠2时，总有4a+2b＞ax2+bx 其中正确的有 （填写正确结论的序号）．  三、计算题：（共2小题，每小题8分，满分16分） 15．计算：2﹣2﹣  cos60°﹣2sin45°+|1﹣ |．16．二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）． （1）求b、c的值； （2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 四、（共2小题，每小题8分，满分16分） 17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，请按要求完成下面的问题： （1）以图中的点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，得到△A1B1C1； （2）若△ABC内一点P的坐标为（a，b），则位似变化后对应的点P′的坐标是 ．  18．（邯郸中考数学）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB． （1）若BE=8，求⊙O的半径； （2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．  五、（共2小题，每小题10分，满分20分） 19．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式． （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 20．如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F， （1）求证：△AFE∽△ABC； （2）若∠A=60°时，求△AFE与△ABC面积之比．  六、（本题满分12分） 21．如图，定义：若双曲线y=  （k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y=（k＞0）的对径．（1）求双曲线y=  的对径．（2）仿照上述定义，定义双曲线y= （k＜0）的对径，并直接写出y=﹣ 的对径．（3）若双曲线y= 的对径是10 ，求k的值． 七、（邯郸中考数学）（本题满分12分） 22．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2m，台阶AC的坡度为1：  ，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）． 八、（本题满分14分） 23．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线． （2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数． （3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=  ，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． 邯郸中考数学参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 【考点】二次函数的性质． 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【解答】解：由y=2（x﹣3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，1）． 故选：A． 【点评】此题考查二次函数的性质，解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h． 2．cos30°的值为（ ） A．1 B． C． D． 【考点】特殊角的三角函数值． 【专题】计算题． 【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可． 【解答】解：cos30°= ．故选D． 【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容． 3．在反比例函数  的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（ ）A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【考点】反比例函数的性质． 【分析】利用反比例函数的增减性，y随x的增大而减小，则求解不等式1﹣k＞0即可． 【解答】解：∵反比例函数 图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，∴1﹣k＞0， 解得k＜1． 故选A． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质的知识点，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大． 4．如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，且S四边形DBCE=8S△ADE． 那么AE：AC的值为（ ）  A．1：8 B．1：4 C．1：3 D．1：9 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】由DE∥BC，即可得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得  ，又由S四边形DBCE=8S△ADE，即可求得S△ADE：S△ABC=1：9，则可求得AE：AC的值．【解答（邯郸中考数学）】解：∵S四边形DBCE=8S△ADE， ∴S△ABC=9S△ADE， ∴S△ADE：S△ABC=1：9， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴  = ，∴AE：AC=1：3． 故选C． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用． 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=  ，则BC的长是（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质． 【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用cos∠BDC=  = ，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．【解答】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD， ∴BD=AD， ∴CD+BD=8， ∵cos∠BDC=  =，∴  =，解得：CD=3，BD=5， ∴BC=4． 故选A． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键． 6．（邯郸中考数学）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（ ）  A．30° B．45° C．60° D．75° 【考点】圆周角定理． 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得∠BCD=90°，可求∠D=60°，即可求∠A=∠D=60°． 【解答】解：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD=90°， ∵∠CBD=30°， ∴∠D=60°， ∴∠A=∠D=60°． 故选C． 【点评】本题重点考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角的知识． 7．如图，D是△ABC中AC边上的一点，根据下列条件不可推出△BDC∽△ABC的是（ ）  A．∠A=∠DBC B．∠ABC=∠BDC C．BC2=AC•DC D．AB•CD=BC•BD 【考点】相似三角形的判定． 【分析】由∠C是公共角，根据三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【解答】解：∵∠C是公共角， ∴A当∠A=∠DBC时，△BDC∽△ABC；故本选项正确； 当∠ABC=∠BDC时，△BDC∽△ABC；故本选项正确； C、当BC2=AC•DC，即CD：BC=BC：AC时，△BDC∽△ABC，故本选项正确； D、当AB•CD=BC•BD，即CD：BC=BD：AB时，不能判定△BDC∽△ABC，故本选项错误． 故选D． 【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意熟记定理是关键，注意数形结合思想的应用． 8．（邯郸中考数学）已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值（ ） A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≥1 【考点】锐角三角函数的增减性． 【专题】压轴题． 【分析】根据锐角三角函数的概念，可以用直角三角形的边进行表示，再进一步根据三角形的三边关系进行分析． 【解答】解：设在直角三角形ABC中，∠A=α，∠C=90°， 故sinα=  ，cosα= ；则m=sinα+cosα=  ＞1．故选A． 【点评】此题综合考查了锐角三角函数的概念，以及三角形的三边关系． 9．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（ ）  A．只有1个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．有无数个 【考点】相似三角形的性质；勾股定理． 【专题】分类讨论． 【分析】由一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，可得x可能是斜边或4是斜边，继而求得答案． 【解答】解：∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x， ∴x可能是斜边或4是斜边， ∴x=5或  ．∴x的值可以有2个． 故选：B． 【点评】此题考查了相似三角形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用． 10．设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（ ） A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤3 【考点】二次函数的性质． 【分析】因为当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，所以函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，由题意可知当x=3时，y=9+3b+c≤0②，所以①②联立即可求出c的取值范围． 【解答】解：∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0， ∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①， ∵当1≤x≤3时，总有y≤0， ∴当x=3时，y=9+3b+c≤0②， ①②联立解得：c≥3， 故选B． 【点评】本题考查了二次函数的增减性，解题的关键是由给出的条件得到抛物线过（1，0），再代入函数的解析式得到一次项系数和常数项的关系． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（邯郸中考数学）函数y=  （x﹣1）2+3，当x ＞1 时，函数值y随x的增大而增大．【考点】二次函数的性质． 【分析】先求对称轴，再利用函数值在对称轴左右的增减性可得x的范围． 【解答】解：可直接得到对称轴是x=1， ∵a= ＞0，∴函数图象开口向上， ∴当x＞1时，函数值y随x的增大而增大． 【点评】主要考查了函数的单调性和求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法． 12．如果  ，那么 =  ．【考点】比例的性质． 【分析】用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解． 【解答】解：∵  = ，∴a= b，∴ = =．故答案为： ．【点评】本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键． 13．如图将半径为4米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 4  米． 【考点】垂径定理的应用；翻折变换（折叠问题）． 【分析】先过点O作OD⊥AB，垂足为D，连接OA，由题意求得OD，由勾股定理求得AD，再由垂径定理求得AB的值即可． 【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA． ∴AB=2AD， 根据题意得OD=  OB=2m，∴AD=  =2m，∴AB=4  m．故答案为：4 ． 【点评】（邯郸中考数学）本题考查了勾股定理和垂径定理的知识．此题比较简单，解此题的关键是掌握折叠的性质，注意数形结合思想的应用． 14．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论： ①a+b+c=0；②4a+b=0；③abc＜0；④4ac﹣b2＜0；⑤当x≠2时，总有4a+2b＞ax2+bx 其中正确的有 ①②④⑤ （填写正确结论的序号）．  【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由图象可知：当x=1时y=0， ∴a+b+c=0． ∴正确； ②由图象可知：对称轴x=﹣  =2，∴4a+b=0， ∴正确； 由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2﹣4ac＞0，正确； ③由抛物线的开口方向向下可推出a＜0 因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=﹣ ＞0，又因为a＜0，b＞0； 由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，故abc＞0，错误； ④由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2﹣4ac＞0 ∴4ac﹣b2＜0正确； ⑤∵对称轴为x=2， ∴当x=2时，总有y=ax2+bx+c=4a+2b+c＞0， ∴4a+2b＞ax2+bx正确． 故答案为：①②④⑤． 【点评】此题考查学生掌握二次函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．解本题的关键是根据图象找出抛物线的对称轴． 三、（邯郸中考数学）计算题：（共2小题，每小题8分，满分16分） 15．计算：2﹣2﹣  cos60°﹣2sin45°+|1﹣ |．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题． 【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二、三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【解答】解：原式=  ﹣×﹣2× +﹣1=﹣﹣+﹣1=﹣1．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）． （1）求b、c的值； （2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质． 【分析】（1）把已知点的坐标代入解析式，然后解关于b、c的二元一次方程组即可得解； （2）把函数解析式转化为顶点式形式，然后即可写出顶点坐标与对称轴解析式； 【解答】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）， ∴  ，解得  ；（2）∵该二次函数为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1． ∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2； 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求解，以及作二次函数图象，都是基础知识，一定要熟练掌握． 四、（共2小题，每小题8分，满分16分） 17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，请按要求完成下面的问题： （1）以图中的点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，得到△A1B1C1； （2）若△ABC内一点P的坐标为（a，b），则位似变化后对应的点P′的坐标是 （2a，2b） ．  【考点】（邯郸中考数学）作图﹣位似变换． 【分析】（1）由以图中的点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，可得△A1B1C1的坐标，继而画出△A1B1C1； （2）由（1）可得△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，继而可求得位似变化后对应的点P′的坐标． 【解答】解：（1）如图： （2）∵以点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，且△ABC内一点P的坐标为（a，b）， ∴位似变化后对应的点P′的坐标是：（2a，2b）． 故答案为：（2a，2b）．  【点评】此题考查了位似图形的性质与位似变换．此题难度不大，注意掌握位似图形的性质是解此题的关键． 18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB． （1）若BE=8，求⊙O的半径； （2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．  【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理． 【分析】（1）根据垂径定理求出DE的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程求出半径； （2）根据OM=OB，证出∠M=∠B，根据∠M=∠D，求出∠D的度数，根据锐角三角函数求出OE的长． 【解答】（邯郸中考数学）解：（1）设⊙O的半径为x，则OE=x﹣8， ∵CD=24，由垂径定理得，DE=12， 在Rt△ODE中，OD2=DE2+OE2， x2=（x﹣8）2+122， 解得：x=13． （2）∵OM=OB， ∴∠M=∠B， ∴∠DOE=2∠M， 又∠M=∠D， ∴∠D=30°， 在Rt△OED中，∵DE=12，∠D=30°， ∴OE=4  ．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理和圆周角定理的综合运用，灵活运用定理求出线段的长度、列出方程是解题的关键，本题综合性较强，锻炼学生的思维能力． 五、（共2小题，每小题10分，满分20分） 19．（2007•贵阳）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式． （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用． 【专题】方程思想． 【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．依据题意易得出平均每天销售量（y）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为y=90﹣3（x﹣50），然后根据销售利润=销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． 【解答】解：（1）由题意得： y=90﹣3（x﹣50） 化简得：y=﹣3x+240；（3分） （2）由题意得： w=（x﹣40）y （x﹣40）（﹣3x+240） =﹣3x2+360x﹣9600；（3分） （3）w=﹣3x2+360x﹣9600 ∵a=﹣3＜0， ∴抛物线开口向下． 当  时，w有最大值．又x＜60，w随x的增大而增大． ∴当x=55元时，w的最大值为1125元． ∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润． 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=  时取得．20．（邯郸中考数学）如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F， （1）求证：△AFE∽△ABC； （2）若∠A=60°时，求△AFE与△ABC面积之比．  【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】几何综合题；压轴题． 【分析】先利用已知条件求出△AFB∽△AEC，得到两组边对应成比例，夹角又相等，所以可得到，△AFB∽△AEC． 【解答】（1）证明：∵∠AFB=∠AEC=90°，∠A=∠A ∴△AFB∽△AEC 3分 ∴  ∴  ∴△AFE∽△ABC 5分 （2）解：∵△AFE∽△ABC 6分 ∴  10分【点评】本题运用了三角形的判定和性质，还用到三角形的面积比等于相似比的平方． 六、（本题满分12分） 21．（2017春•邯郸月考）如图，定义：若双曲线y=  （k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y= （k＞0）的对径．（1）求双曲线y=  的对径．（2）仿照上述定义，定义双曲线y= （k＜0）的对径，并直接写出y=﹣ 的对径．（3）若双曲线y= 的对径是10，求k的值． 【考点】反比例函数综合题． 【分析】（邯郸中考数学）过A点作AC⊥x轴于C， （1）先解方程组  ，可得到A点坐标为（1，1），B点坐标为（﹣1，﹣1），即OC=AC=1，则△OAC为等腰直角三角形，得到OA=OC=，则AB=2OA=2，于是得到双曲线y= 的对径；（2）双曲线y=  （k＜0）的一条对称轴与双曲线有两个交点，根据题目中的定义易得到双曲线y=（k＜0）的对径，同（1）的方法即可得出y=﹣ 的对径；（3）根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为10 ，即AB=10，OA=5，根据OA=OC=AC，则OC=AC=5，得到点A坐标为（5，5），把A（5，5）代入双曲线y= （k＞0）即可得到k的值；【解答】解：过A点作AC⊥x轴于C，如图， （1）解方程组  ，得 或 ，∴A点坐标为（1，1），B点坐标为（﹣1，﹣1）， ∴OC=AC=1， ∴OA= OC=，∴AB=2OA=2 ，∴双曲线y= 的对径是2； （2）若双曲线y= （k＜0）与它的其中一条对称轴y=﹣x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y= （k＜0）的对径．同（1）的方法得出，y=﹣ 的对径为2 ．（3）∵双曲线y= 的对径为10，即AB=10，OA=5，∴OA= OC=AC，∴OC=AC=5， ∴点A坐标为（5，5），或点A坐标为（﹣5，5） 把A（5，5）代入双曲线y= （k＞0）得k=5×5=25，即k的值为25；把A（﹣5，5）代入双曲线y= （k＜0）得k=﹣5×5=﹣25，即k的值为﹣25；即k的值为25或﹣25．  【点评】（邯郸中考数学）本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，新定义的理解，反比例函数图象上点的坐标特征，点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；等腰直角三角形的斜边是直角边的  倍，难度适中．准确理解双曲线对径的定义是解题的关键．七、（本题满分12分） 22．（2016•天水校级自主招生）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2m，台阶AC的坡度为1： ，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【分析】由于AF⊥AB，则四边形ABEF为矩形，设DE=x，在Rt△CDE中，CE═  = = x，在Rt△ABC中，得到 = ，求出BC，在Rt△AFD中，求出AF，由AF=BC+CE即可求出x的长．【解答】（邯郸中考数学）解：∵AF⊥AB，AB⊥BE，DE⊥BE， ∴四边形ABEF为矩形， ∴AF=BE，EF=AB=2 设DE=x，在Rt△CDE中，CE=  = =x，在Rt△ABC中， ∵ =，AB=2，∴BC=2  ，在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣2， ∴AF=  = = （x﹣2），∵AF=BE=BC+CE． ∴ （x﹣2）=2+ x，解得x=6． 答：树DE的高度为6米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角、坡度问题、矩形的判定与性质、三角函数；借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键． 八、（本题满分14分） 23．（2016•宁波）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线． （2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数． （3）如图2，△ABC中，AC=2，BC= ，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】新定义． 【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可． （2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可． （3）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得  = ，列出方程即可解决问题．【解答】（邯郸中考数学）解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°， ∴∠ACB=80°， ∴△ABC不是等腰三角形， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°， ∴△ACD为等腰三角形， ∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC， ∴△BCD∽△BAC， ∴CD是△ABC的完美分割线． （2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°， ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48°， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°． ②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC=  =66°，∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48°， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°． ③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°， ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48°， ∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃． ∴∠ACB=96°或114°． （3）由已知AC=AD=2， ∵△BCD∽△BAC， ∴ = ，设BD=x，∴（ ）2=x（x+2），∵x＞0， ∴x= ﹣1，∵△BCD∽△BAC， ∴  == ，∴CD= ×2= ﹣．    【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型． 第24页（共27页） (责任编辑：admin) |