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重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。(等边三角形）重心是三角形内到三边距离之积最大的点。  1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 证明：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。 求证：EG=1/2CG 证明：过E作EH∥BF交AC于H。 ∵AE=BE，EH//BF ∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理) 又∵ AF=CF ∴HF=1/2CF ∴HF:CF=1/2 ∵EH∥BF ∴EG:CG=HF:CF=1/2 ∴EG=1/2CG 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 证明方法： 在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知： OA'=1/3AA' OB'=1/3BB' OC'=1/3CC' 过O，A分别作a边上高OH'，AH 可知OH'=1/3AH 则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC 同理可证S△AOC=1/3S△ABC S△AOB=1/3S△ABC 所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB 3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形） 由性质8（卡诺重心定理）可得出结论。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数， 即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]； 空间直角坐标系——X坐标：(X1+X2+X3)/3，Y坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，Z坐标：（Z1+Z2+Z3）/3. 三角形内到三边距离之积最大的点。 证明：点P是△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，作点P到BC、AC、AB的垂线段，垂足分别为D、E、F，延长AP交BC于M。记△ABC的面积为S，BC为a，AC为b，AB为c，PD为a'，PE为b'，PF为c'。 ∵aa'/2+bb'/2+cc'/2=S△BCP+S△ACP+S△ABP=S ∴aa'+bb'+cc'=2S 由均值不等式知，[(aa'+bb'+cc')/3]^3≥aa'bb'cc'=(abc)*(a'b'c')，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。 ∴a'b'c'≤[(aa'+bb'+cc')/3]^3/(abc)=(S/3)^3/(abc)=8S^3/(27abc)，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。 ∴a'b'c'只有当aa'=bb'=cc'时才会取得最大值。 此时，S△ABP=cc'/2=bb'/2=S△ACP，由燕尾定理知，BM/CM=S△ABP/S△ACP=1。 ∴此时BM=CM，M是BC的中点，AM是△ABC的中线，P在△ABC中BC边的中线上。 同理可证此时P在△ABC中AB、AC边的中线上。 ∴当a'b'c'最大时，P是△ABC的重心，即重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。 7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC） 8、卡诺重心定理：若G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^2 (责任编辑：admin) |