下面的较适用含参不等式,在任意不等式上解会较麻烦,主要原理是如果在x=k时函数大于一个数,而且在x大于等于k时x越大y越大,那么函数一定也大于一个数。 就是看x变大的时候y是不是变大 比如y=(x-1)^2+2在x大于等于1时x变大y也变大 那么说在x大于等于1小于等于4时最大值应该在4取到 那么就是11 然后这个单调性在一次函数中如果x的系数大于0,x越大y越大 如果x小于0,x越大y越小 在二次函数中,首先化成y=k(x-a)^2+b的形式(用配方法) 然后k大于0时,x大于等于a,x越大y越大,x小于等于a,x越大y越小 k小于0时,x大于等于a,x越大y越小,x小于等于a,x越大y越大 而且二次函数中x是有对称性的,x1+x2=2a时(在y=k(x-a)^2+b),x1、x2代入x得的y相等,如果不在对称轴的同一侧,无法使用单调性,可以先对称过去。 对于任何函数,要证明单调性,可以代入两个值x1、x2(x1 (区间就是一个范围a到b,比如0到999) 然后如果有参数,可以分类讨论,比如ax^2+3x+2大于等于0在x大于等于1小于等于5时成立,求a的取值范围 a=0
那么可以先分析是几次方程,如果a=0就是一次方程,很显然单增,那么在x=1时成立,就一定成立,即成立 如果a不是0,当a大于0时,x^2+3/ax+2/a大于等于0,配方得(x+3/(2a))^2+2/a-9/(4a^2)大于等于0 其中x一定大于-3/(2a),所以单增,当x=1时成立任何时候都成立 那么就变成了1+3/a+2/a大于等于0,显然在a大于0时恒成立 a大于0可以
故 当a小于0时,变为了(x+3/(2a))^2+2/a-9/(4a^2)小于等于0 便很显然若-3/(2a)小于等于3,那么在x=5最大,如果大于等于3,那么在x=1最大(可以用对称轴对称到一个单调区间中) -3/(2a)小于等于3即3小于等于-6a(a是负的,-号也是负的,两个乘起来是正的),1小于等于-2a,-1/2大于等于a,a小于等于-1/2。 同理大于等于3在a大于等于-1/2成立 即在a小于等于-1/2 x=5最大,如果x=5满足任何x的值都满足 25+15/a+2/a小于等于0,那么1/a小于等于-25/17,a大于等于-17/25小于等于0 小于等于1/2大于等于-17/25
那么就是a 在x大于等于-1/2 x=1最大,如果x=1满足任何x的值都满足 a大于等于-2/5小于0
即5a+2大于等于0,a大于等于-2/5小于等于0,综合一下就是 综上,a大于等于-2/5或a小于等于-1/2大于等于-17/25 总而言之就是通过分类确定单调性,然后通过单调性确定一个值成立后所有值能成立(不等式),然后再代入不等式求得参数。 一般二次方程的题要是没有参数,可以直接求单调性,然后求得等于0的情况,就能找到小于0的区间和大于0的区间。 当然,二次函数一定要让一边是y,一边是二次整式。一定要注意是一次或者二次,再去判断。 如果都不是的,可以化成一次或二次(因式分解,消分母,平方消根号,换元)。
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