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初中数学三角函数和差化积公式

http://www.newdu.com 2025/09/13 09:09:46 初三网 admin 参加讨论

三角函数的和差化积公式为三角函数的一个重要公式，下面总结了三角函数的和差化积公式，供大家参考。
初中数学三角函数和差化积公式

    和差化积公式
    sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
    sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
    cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
    cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
    tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
    口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦。
    和差化积公式推导
    首先，我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb，sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
    我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
    所以，sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
    同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
    同样的，我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb，cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
    所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
    所以我们就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
    同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
    这样，我们就得到了积化和差的四个公式：
    sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
    cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
    cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
    sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
    有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式.
    我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2
    把a，b分别用x，y表示就可以得到和差化积的四个公式：
    sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
    sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
    cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
    cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
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