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三角形勾股定理公式及证明方法

http://www.newdu.com 2025/12/17 03:12:11 初三网 admin 参加讨论

勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。接下来分享三角形勾股定理公式及证明方法。

    三角形勾股定理公式
    1.基本公式
    在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么勾股定理的公式为a^²+b^²=c^²。
    2.完全公式
    a=m，b=(m²/k-k)/2，c=(m²/k+k)/2其中m≥3
    (1)当m确定为任意一个≥3的奇数时，k={1，m²的所有小于m的因子}
    (2)当m确定为任意一个≥4的偶数时，k={m²/2的所有小于m的偶数因子}
    3.常用公式
    （1）(3,4,5),(6,8,10)……3n,4n,5n(n是正整数)。
    （2）(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)……2n+1,2n²+2n,2n²+2n+1(n是正整数)。
    （3）(8,15,17),(12,35,37)……2²*(n+1),[2(n+1)]²-1,[2(n+1)]²+1(n是正整数)。
    （4）m²-n²,2mn,m²+n²(m、n均是正整数,m>n)。
    三角形勾股定理证明方法

    设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。
    其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
    画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。
    分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。
    ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。
    ∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。
    因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。
    因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。
    因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。
    因此四边形BDLK=BAGF=AB²。
    同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC²。
    把这两个结果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC
    由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
    由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。
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