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突出课标理念、寻求有价值的试题难度

http://www.newdu.com 2018-12-06 人民教育出版社 佚名 参加讨论

    突出课标理念、寻求有价值的试题难度
    ──2010年遵义市中考试题27题解读
    贵州省道真县玉溪镇中心学校 胡 军
    题目:如图,已知抛物线的顶点坐标为Q,且与轴交于点C,与轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),点P是该抛物线上一动点,从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合),过点P作PD∥轴,交AC于点D.
           
    (1)求该抛物线的函数关系式;
    (2)当△ADP是直角三角形时,求点P的坐标;
    (3)在问题(2)的结论下,若点E在轴上,点F在抛物线上,问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形?若存在,求点F的坐标;若不存在,请说明理由.
    一、试题特点分析:
    1.试题的综合性设置:
    此题以平面直角坐标系为载体,综合考查了一次函数、二次函数、一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、二次根式、轴对称、三角形与四边形等初中数学的主干知识;在能力上考查了学生对数学知识的分析、观察与计算、灵活运用数学知识的能力;在思想方法上考查了转化思想、分类讨论思想、数学建模思想、函数思想、数形结合思想等。本题将二次函数、二次方程、特殊四边形及对称性等知识综合于一题,在知识的交汇处做文章,达到了考查学生综合解决问题的能力。是一道综合性较强的题目。
    2.试题的难度考查
    试题共设置了3道小题。第(1)小题为基础题,即已知项点坐标和抛物线上一点求解析式。考查了二次函数的解析式、一元一次方程等知识,多数学生能正确解答,是解决第(2)小题的基础. 第(2)问给出△ADP是直角三角形这一条件,求P点坐标,需要分两种情况进行讨论,①是点P为△APD直角顶点,②是点A为△APD的直角顶点,考查学生在动态背景下几何关系的认识能力与函数知识的应用能力,动中有静,静中有动,变与不变相互转换为后面作好铺垫。考查了一元二次方程,等腰直角三角形的三线合一,轴对称、一次函数、二元一次方程组,一元二次方程,二次函数的有关知识。有一定的难度。第(3)问化动为静,在(2)问确定P点位置后,探究存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形的可能性,此问新颖地将平行四边形的考查与平面直角坐标系、二次方程等代数学知识的考查有机地结合在了一起。对F点的存在性讨论,既要考虑对P点两种不同位置进行分类判析,又要利用F点既是抛物线上点又是平行四边形顶点这两个条件,对问题进行建模,提升了对数学本质的思考,综合考查了平移、平行四边形、一元二次方程等初中阶段主要的核心知识和数学思想,学生的运算能力及运用所学知识分析问题的能力也得以充分考查,为筛选优秀学生提供了很好的素材。属于中上难度的问题和能力考查的范围。
    3.试题的背景选择
    试题以平面直角坐标为载体,渗透运动变化的背景,“点P是该抛物线上一动点,从点C沿抛物线向点A运动 ……”。运动变化使题目的各种关系变得复杂,学生要用运动的观点来分析图形在运动过程中的相互关系,从而考查学生的思维能力。
    4.试题的条件隐蔽
    此题作为压轴题,对命题有较高要求。对学生的数学思维能力同样要求高,学生要正确解出此题,有三道坎:一是求该抛物线的函数关系式;此坎多数学生能迈过;二是当△ADP是直角三角形时,求点P的坐标,要用分类讨论;学生在解题过程中往往会丢掉第二种情况,即:点A为△APD的直角顶点。如果没有考虑到这一种情况,就会失去对此题完整解答的机会。三是探究“是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形”?要求学生具有较强的观察力与分析力。在试题中,有的条件是明了的,有的则是隐蔽的。如第(2)问中要分P、A为直角三角形的顶点进行讨论。
    二、试题的解法
    解法一:(1)∵抛物线的顶点为Q(2,-1),∴设,将C(0,3)代入上式解得  , 
    ∴, 即,
    ⑵分两种情况:
    ①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)
     
    令=0,  得  解之得,∵点A在点B的右边,  ∴B(1,0),
    A(3,0),∴P1(1,0).
    ②当点A为△APD2的直角顶点是(如图)
        
    ∵OA=OC,  ∠AOC=,  ∴∠OAD2=,当∠D2AP2=时, ∠OAP2=,∴AO平分∠D2AP2又∵P2D2轴,  ∴P2D2⊥AO,  ∴P2、D2关于轴对称.设直线AC的函数关系式为,
    将A(3,0), C(0,3)代入上式得
    ,      ∴
    ∴,
    ∵D2上, P2上,
    ∴设D2(,), P2(,)
    ∴()+()=0,
    ,   ∴(舍),
    ∴当=2时, ==-1,
    ∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点)
    ∴P点坐标为P1(1,0),  P2(2,-1).
    (3)由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形;
    当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形.
    ∵P(2,-1),  ∴可令F(,1),
    ∴
    解之得:
    ∴F点有两点,即F1(,1), F2(,1)
    下面我们再研究第二问的不同解法。
    解法二:①显然,当P与点B重合时P的坐标为P1(2,-1);
       
    ②又AB=2,∠OAD2=,Q(2,-1),作QH⊥AB于H,∴QH=1,QH=1/2AB=AH=1,
    ∴∠QAD=,∴当点P与点Q重合时△PAD是直角三角形,
    ∴P的坐标为P2(2,-1)
    解法三:①显然,当P与点B重合时P的坐标为P1(2,-1);
    ②连接CQ、AQ,可得
    ,
    ∵,∴∠CAQ=,(勾股定理逆定理),
    即当点P移动到点Q(顶点)时,有∠CAP(Q)=,∴△PAD是直角三角形,∴P的坐标为P2(2,-1)
         
    解法四:①显然,当P与点B重合时P的坐标为P1(2,-1);
    ②若∠DAP=,设DP与OA交于点H,∵∠OAD=,∴∠OAP=,
    设AH=HP=x,∴OH=3-x,则P(3-x,-x),点P在抛物线上,
    ∴有,解之得
    当时,P(3,0),与点A重合(舍);
    当时,P2(2,-1),与Q重合.
       
    解法五:①显然,当P与点B重合时
    P的坐标为P1(2,-1);
    ②过点A作AP⊥CA,交抛物线于点P, 作  PD∥轴,交OA于H,设HB=,AH=,
    显然,DH=AH=PH=,OH=
    ∴P(),将点P坐标代入,得,解之得,
    当时,P2(2,-1)与Q重合;
    当时,P(3,0)与A重合(舍)
        
    解法六:(利用相似求解)
    直线AC:, D(x,-x+3),DP=-x+3-(x2-4x+3)=-x2+3x,
    延长DP交OA于点E,∵A(3,0),E(x,0)∴AE=DE=OA-OE=3-x,AD=,
    ①当∠DPA=∠COA=时,∵PD∥轴,
    ∴△PAD∽△COA,,解之得
    ∴P(1,0)与B重合,P(3,0)与A重合(舍)
    ②当∠DAP=∠COA=时, △PAD∽△COA,,
    即 ,解之得,,∴P(2,-1)与Q点(顶点)重合,∴P1(1,0),P2(2,-1).
    三、同类试题展示
    1.(2010年毕节)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-2,0)、B(4,0),与y轴交于点C(0,4),直线l是抛物线的对称轴,与x轴交于    点D,点P是直线l上一动点.
          
    (1)求此抛物线的表达式;
    (2)当AP+CP的值最小时,求点P的坐标;再以点A为圆心,AP的长为半径作⊙ A求证BP与⊙A相切;
    (3)点P在直线l上运动时是否存在等腰△ACP?若存在,请写出所有符合条件的点P坐标;若不存在,请说明理由.
    2.如图,(2010年甘肃定西)抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),设抛物线的顶点为D.
    ⑴求该抛物线的解析式与顶点D的坐标;
    ⑵以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么?
    ⑶探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    3.(2010年河南)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过ABC三点.
           
    ⑴求抛物线的解析式;
    ⑵若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
    ⑶若点P是抛物线上的动点,点Q是直线上的动点,判断有几个位置能够使得点PQBO为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
    4.已知:(2010年荆门)如图一次函数yx+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数yx2bxc的图象与一次函数yx+1的图象交于BC两点,与x轴交于DE两点且D点坐标为(1,0)
              
    (1)求二次函数的解析式;
    (2)求四边形BDEC的面积S
    (3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由. (责任编辑:admin)
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