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全国中考数学命题特点与命题趋势分析 安徽省利辛县教育局督导室 夏 飞 中考是初中教学的指挥棒，研究、分析中考试题对教学有着重要的指导意义。研究近几年的中考数学试题，把握中考命题的方向和脉搏，对落实新课程标准，有效地组织数学课的教学和初三备考复习，同样也有着重要的指导意义。 一、命题特点分析 认真分析近几年全国各地的中考数学试题，不难发现，试题注重对学生的基础知识、基本技能、基本思想方法的“三基”考查。强调理论联系实际，关注与实际生活的联系，体现人文精神、数学知识与生活实际的密切联系，强调人与自然、社会协调发展的现代意识，引导学生关注社会生活，密切联系最新的科技成果和社会热点。综观2011年各地的中考试题，有以下几个突出的特点：一是典型性，即选题典型，难易程度，做到逐步递进；二是针对性，即选题精炼，能帮助学生走出题海，减轻学习负担，提高复习效率；三是新颖性，即选题结合近几年全国中考数学命题走向，体现探究性、开放性、活动性，从多方面培养学生的能力与数学素养。具体分析如下： (一) 注重知识点与学习能力的考查 分析近几年全国各地的中考试题，对照每年的《中考说明》要求，均注意到了对重要知识点的考查。如：在每年的第一类解答题中，必考的内容有实数的运算、代数式的化简求值、解不等式组、解方程或方程组、一元二次方程根的判别式或根与系数的关系、概率统计等；在每年的第二类解答题中，列方程解应用题、解直角三角形、求函数解析式、平面图形的简单论证和计算等是考查的重点；在每年的第三类解答题中，则是中考稳中求变的突破口，将基础性、应用性、实践性、开放性、探究性融入其中。但总体来说，还是有规律可以捕捉的，如圆与三角形、圆与四边形中等积式和比例式的证明，几何与方程、函数的结合题，几何图形中的一些条件给定、探求结果的开放型题等都是近几年来保留的压轴题。 1.从知识点上看，在命题方向上，近几年没有太多的起伏；从内容上看，几何题中的面积、弧长、侧面积或圆中线段、角度计算或者与代数、相似三角形、三角函数的联系等，二次函数综合题仍是多数省市压轴题的首选内容，圆的内容也有所侧重，并且考试内容与考查方式的结合新颖。对这些知识点的考查并不放在对概念、性质的记忆上，而是对概念、性质的理解与运用上，通过现实生活来体验数学的妙趣。 2.从学习能力上看，着重考查学生数学思想的理解及运用。数学能力是学好数学的根本，主要表现为数学的思想方法。初中数学中最常见的思想方法有：分类、化归、数形结合、猜想与归纳等。其中，数形结合思想、方程与函数思想、分类讨论思想等几乎是近几年中考试卷考查的重点。 (二)注重运用知识解决实际问题的考查 数学来源于生活，同时也必将应用于生活，学数学就是为了解决生活中所碰到的实际问题。近几年的中考题相当注重运用数学知识解决实际问题的考查，考查层次非常丰富，不同水平的学生可以充分展示自己不同的探究深度，以及综合运用数学知识、思想方法去探索规律、获取新知的能力。 (三)注重创新思维与数学活动过程的考查 近几年不仅注重对学生数学学习结果的评价，更注重对学生数学活动过程的评价；不仅注重数学思想方法的考查，还注重对学生在一般性思维方法与创新思维能力发展等方面的评价，尤其注重对学生探索性思维能力和创新思维能力的考查；不仅关注学生知识水平的提高，更多的则是关注对学生的数学思维潜力的开发与提高。试题的形式多样，既有通过学生阅读材料去理解一些数学对象的试题，也有借助所提供的各种形式的素材去考查学生从中获取信息的试题，还有适量的操作性和探索性试题。 二、命题趋势分析 陶行知先生曾说过：“教育必须做到解放学生的眼睛，让他们亲自看一看；解放学生的大脑，让他们亲自想一想；解放学生的嘴巴，让他们亲自说一说；解放学生的双手，让他们亲自做一做。”我们认为，这是对素质教育的最佳诠释。回归教育本原、贴近学生数学化发展需求，是全面实施数学素质教育的根本所在。中考命题中如何从具体情境中抽象出数学材料，并将获得的材料符号化，体现了数学问题源于教学但高于教学的教学理念，使试题始终散发着“数学味”，促进学生个性得充分发展一直是各地命题专家关注的热点。由近几年的命题特点来看，体现基础性、应用性、实践性、开放性、探究性是近几年全国中考数学试题的重要特征，也将是今后几年全国中考数学命题的总趋势。具体分析如下： 1.数与式部分的试题早已不再繁、难、偏，取而代之的是点多面广。多是与数学意义、与实际生活紧密联系的问题，以及在变化的图形或实际问题的背景中观察、概括出一般规律，运用数学模型解决实际问题等。 2.空间与图形部分的内容与以往相比难度有较大的降低，不会出现特别繁难的几何论证题目，在填空题和选择题中将重点考查视图、几何体及其平面展开图之间的关系以及初步的空间观念，几何论证题将以常见的几何图形为主，贴近教材，接近学生基础，注重格式的规范性及论证的严密性。 3.统计与概率部分的试题，仍会受到命题者的重视。新课标指出，发展统计观念是新课程的一处重要目标。与统计有关的试题往往要求学生有较强的阅读能力，因此在平时的教学中教师应适当提高学生的阅读能力和图标信息处理能力，另外，统计题中有些问题没有统一的结论，因此，在平时的教学中，教师要注意指导学生答案具有的开放性，不可用唯一的标准作为规范解答，以免误导学生。 4.与生活实际相联系的问题会越来越受命题者的青睐，而解决实际问题必须要建立数学模型，指导学生将实际问题转化为数学模型是今后教学的一个重点，必须培养学生用数学的方法解决问题的能力，培养学生对探索性试题进行研究，培养学生的合作交流意识，从数学的角度提出问题，理解问题，并综合运用数学知识解决问题；只有掌握了一定的解决问题的基本策略，才能在中考中较好地发挥水平，充分展示能力。应用题仍是属于此类型且是必考题目，题型有函数型、统计型、概率型。 5.创新思维与实践能力的综合考查题有加重分量的趋势。近几年中考命题对观察、实验、类比、归纳、猜想、判断、探究等能力的综合考查特别突出，试题通过给定资料让学生运用所学知识“再发现”，通过一种新颖独立的创新思维活动，解答所提出的几个问题。特别是探究型和应用类试题，探索数式规律和图形变化规律题，以及阅读理解、实验操作题，这种考查思维能力和动手能力的题目非常活跃，多年以来已形成传统压轴题，倍受关注。 三、典题举例评析 例12011年中考贵阳卷） [阅读]：在平面直角坐标系中，以任意两点P(  ) ， Q( )为端点的线段中点坐标为（ ， ）。[运用]： （1）如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在X轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为__________。 （2）在直角坐标系中，有A（  ，2），B（3，1），C（1，4）三点，另一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标。  解析：（1）因为四边形ONEF是矩形，所以点M是OE的中点；因为O（0，0），E（4，3），所以点M的坐标为（2，  ），如图1。（2）设点D的坐标为（  ， ）。若以AB为对角线，AC，BC为邻边构成平行四边形，则AB，CD的中点重合，所以  ，解得： 。若以BC为对角线，AB，AC为邻边构成平行四边形，则AD，BC的中点重合， 所以  ，解得： 。综上可知，点D的坐标为（1， ）或（5，3）或（ ，5），如图2。点评：本题属于综合探究性数学问题，将数学知识、方法、技能和思想自然而然有机地结合起来，给学生提供展示推理能力、思维能力的平台，彰显数学教育对学生能力发展的价值。本题的巧妙之处在于由易到难，梯度合理，设计新颖，不落俗套，设计两个独立的变量引起图形变化，寓静于动，在变化中隐含着不变的因素，它对学生分析、解决问题的能力提出了较高的要求，用这种方式考查学生的思维能力，是一种大胆创新尝试。这样设计既是对学生的探究能力、创新能力的一次检验，又是能力立意的充分体现，有效地抑制题海战术，减轻学生课业负担，对我们的教学有着积极的引导作用。 例2（2011年中考北京卷）： 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题，如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O。若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，  的长度为三边长的三角形的面积。  小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可。他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题。他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD＋BC的长度为三边长的三角形（如图4）。 参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题： 如图5，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF。 ⑴在图5中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； ⑵若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于_______。    解析：⑴本题画法很多，答案不唯一。如： 方法一：如图6，过A作BC的平行线与过C作AD的平行线相交于点P，则△FPC为所求。 方法二：如图7，延长AD至P，使  ，取BP的中点G。△FGC为所求；⑵如图7，由已知易得  ，要求△FGC的面积，需要证△FGC的面积等于四边形FEBC面积。由⑴知四边形BGCE是平行四边形，设FG与BE交于M，AD与BE交于N，则 ，有 ， （同底FC且等高）。两式相加可得结果。本题图形的本质特征是：以三角形三条中线为边的三角形面积是原三角形面积的 。点评：通读全题后让人很明显地感觉到，阅读和理解题意的重点是让学生经历“探究发现”、“推理猜想”后得到启发，获得解决后续问题的思路，进而“拓展延伸”。这里花费了大量笔墨设置阅读理解、解决后续问题的目的，是让学生经历学习、探索、解决问题的整个过程，巧妙地考查了学生的学习运用活动与创新思维过程。这里将考试过程与学习过程结合起来了，体现了一种新颖的考试理念：回归教育本原、贴近学生数学化发展需求。 例3（2011年中考南京卷）： 问题情境：已知矩形的面积为  （为常数， ），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型： 设该矩形的长为 ，周长为，则与的函数关系式为 。探索研究： ⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数  的图象性质。 ① 填写下表，在图8中画出函数的图象：
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质； ③在求二次函数  的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数的最小值。解决问题： ⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案。 解析：⑴①将表中  的值代入中计算可得的值分别为：  。描点并画出函数 的图象如图9所示。 ②本题答案不唯一。要根据图象，可得：当  时，随增大而减小；当 时，随增大而增大；当 时函数的最小值为2等。③  当  ,即时，函数的最小值为2． ⑵当该矩形的长为  时，它的周长最小，最小值为 ．点评：创设试题情境，需要命题教师对教学本身进行周密思考与精心设计，要让学生在应试过程中自己去经历、去体会、去理解，要有让学生思考的时间和空间，使学生在一个曾经历过的熟悉的背景下，产生一种巨大的无形的导引效应，使自己全身心投入到解决问题的数学化过程活动中，从自己的经验出发，运用属于自己的方式和策略，寻找解决问题的方法，发现和整理属于自己的不同形式的解题策略。本题首先提出一个具体的问题情境，即“已知矩形的面积为 （为常数，），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？”让学生借鉴已经掌握的研究函数的经验，先探索函数的图象性质，再解决“问题情境”中提出的问题。其过程就是经历数学化的思维过程。试题注重引发学生思考，让学生在思考中体验知识的形成过程，始终处于“思考——收获——再思考——再收获”的这样一种情感体验之中。用睿智的语言加以点化，突现评价的导向功能，从而激发和培养学生的数学化思考，引领学生的思维向纵深发展，在应试过程中按既定目标顺利进行。 例4（2011年中考遵义卷）：已知抛物线  经过A（3，0），B（4，1）两点，且与轴交于点C。⑴求抛物线 的函数关系式及点C的坐标； ⑵如图10,连接AB，在题⑴中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；   ⑶如图11,连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标。 解析：第⑴小题，利用待定系法将A、B两点的坐标代入 中得到一个二元一次方程组，求出、 的值，再求点C的坐标； 第⑵小题，如图12，假设存在，分两种情况： ①连接AC，BD ,易得点  与点C重合，即点的坐标为（0，3）；②当  时，过B作 ∥AC, 交抛物线于点 ，由A (3，0)，C(0，3)，可得直线AC的函数关系式为 ，将直线AC从A向B平移（实际上是2个单位）与直线重合.则直线的函数关系式为 . 由  ，求得 或 ，因B点的坐标为（4，1），所以(4,1) 舍去，即 的坐标为 (，6)。 第⑶小题，如图12，首先观察并判断△EOF为等腰直角三角形，由点E在线段AC上,设E  ， ，∴  ∴当  时， 取最小值，此时 ，∴E（，）。 点评：此题以抛物线为载体，设置了由点的运动变化对三角形、圆的变化产生的影响的综合背景，解决与抛物线有关的点的坐标及三角形的面积最值问题。如在“该抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形”和“E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F……”。这样的变化使题目的各种关系变得较复杂，学生要用动态的观点来分析图形中的相互关系。在知识点上主要考查了二元一次方程组、一元二次方程、一次函数、二次函数、直角三角形、三角形的面积、勾股定理、圆等初中数学的核心内容；在能力上考查学生在动态背景下处理几何关系的认识能力与函数知识的应用能力；在思想方法上考查了待定系数法、配方法、方程思想、函数思想、数形结合思想及分类讨论的思想等；试题的呈现自然、简洁、和谐，提升了学生对数学本质的思考。由试题的多种解法为学生提供解题过程的开放空间，体现了试题考查功能数学化。立足核心内容，寻求试题考查功能数学化，是近年来各地中考试题的一大特色。 四、带给教学的启示与备考建议 (一)重教材，抓基础，提高学生的基本技能和基本的数学思想方法。中考命题基本上是教材中题目的引申、变形或组合，特别是教材的编排有“螺旋上升”的优点，也有知识点分散的缺点，所以我们必须指导学生深钻教材，绝不能脱离课本。一味搞题海战术，让学生整天埋头做大量的课外习题，是本末倒置。进入初三的学生在学好新知识的同时，教师应要求他们把初一、初二的相关内容进行归纳整理，使之形成结构。对成绩好的学生，我们应指导他们加强各模块内部的整合，寻求各模块的交叉点、中间地带，因为有区分度的试题往往就出自这些地方。对学习困难的学生应指导他们完成教材中的习题，并要求他们注意解题方法的归纳和整理。具体应注意以下几点：（1）在基础知识的复习过程中,要善于将初中所学的知识进行归类，理清初中阶段数学知识脉络，形成完整的知识体系；（2）要让学生深刻地理解概念的本质，熟练地掌握公式、定理、法则，并能灵活地加以运用；（3）重视经常性的复习，不断巩固，落实三基，决不能片面地解难题、怪题、偏题，否则得不偿失。 (二)重过程，抓理解，提高学生解决问题的能力。中考命题中有突现“动态”、“探究”、“过程”等观念的趋势，如图表中信息的收集与处理、结论的猜测与证明、利用学具进行操作、图形的旋转、翻折运动及文字语言、符号语言、图形语言的转换等，这些问题都是切切实实地关注学习的体验过程，重视知识的发生过程，不可死记硬背，在学习中学生只有亲自动手操作实验、在探究中发现规律才会真正理解。具体应注意以下几点：（1）平时对学生的训练要高标准、严要求、定时定量，只有这样，才能做到答题规范、表述准确、推断合理，才能提高学生的审题能力、分析能力、计算能力。（2）培养学生敢问、好问、善问的学习习惯，多给学生提问和思考的机会。（3）注重操作与实践，培养学生的创新意识和能力。 (四)重通法，抓变通，培养学生思维的广阔性、灵活性和敏捷性。中考数学试题形式和知识背景千变万化，但其中运用的数学思想方法却往往是相通的。要处理好“通法”和技巧的关系，在学习中不应过分地追求特殊方法、技巧，不必将力气花在钻难题、怪题。应抓住数学知识的主干部分与通性通法，在此基础上通过寻求不同解题途径与思维方式，培养思维的广阔性、灵活性和敏捷性。具体应注意以下几点：（1）注重变式和拓展训练，精做精练，易、中、难比例要合理；（2）要善于将书本知识与学生的生活实际联系起来，科学地设计探究性试题和开放性试题，诱发学生的求知欲，鼓励学生独立思考，多关注实际生活，聚焦社会热点，并学会用数学的思维方式去观察、分析社会，解决日常生活中的实际问题；（3）要了解近几年中考数学命题的特点与趋势。 (二)重反思，防粗心，强化反思总结，注重错题分析，建立备忘录。分数的高低往往决定于细心，数学成绩再好的同学，也难免会粗心，但粗心的背后是有原因的，知识的负迁移，知识点不熟练，平时解题不规范等。所以应经常性地引导学生反思自己的错误，要求他们准备一个记录本，对一些易错、易忘问题随时记录，根据个人的具体情况，查漏补缺，做知识归类、解题方法归类，在形成知识结构的基础上加深记忆，对经常错的点要进行归类分析。具体应注意以下几点：（1）培养学生学会在一个知识板块复习结束后，自我反思：在解题过程中用了哪些基础知识和基本方法？解该题时哪些步骤容易出错？该问题的难点何在？我是如何突破的？等等。（2）培养学生养成及时发现自己的问题与弱点，及时总结和反思，随时记录，随时整理，随时翻阅。 总之，在备复习考时，教师应重视引导学生对基础知识的理解，注重知识与实际的联系，注重实践应用及动手能力的训练，突出对数学思想方法的落实，兼顾数学阅读分析能力的培养，关注各个领域之间的联系与整合应用，切实掌握数学基本研究方法，领悟思想方法，对同一问题能举一反三、融会贯通，在中考中取得优异的成绩。 (责任编辑：admin) |
