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一道中考题的解法探究及思考

http://www.newdu.com 2018-12-06 人民教育出版社 佚名 参加讨论

    一道中考题的解法探究及思考
    湖北省安陆市洑水初中 王官清
    一道以正方形为背景的中考题,很多同学解答时,往往找不到解题的突破口,不能综合运用所学数学知识,思维缺乏灵活性、连贯性。下面的六种解法给同学们提供借鉴。
    
    题 (2009贺州)如图1-1,正方形ABCD的边长为1cmEF分别是BCCD的中点,连接BFDE,则图中阴影部分的面积是          cm2
    分析:图中阴影部分是不规则四边形,须作辅助线转化为规则四边形或三角形,才能运用规则四边形或三角形的面积公式求解。也可考虑间接求解:先求出空白部分的面积,再用正方形的面积减去空白部分面积。题目中重要的是要考虑中点的如何运用。
    
    解法一:如图1-2,连接AC、BD交于G,根据正方形性质,G是BD中点,显然,O是△BDC的重心。CG经过O点。∴OG=CG,∴△ BOG的面积等于△BCD的面积的,即,∴阴影部分的面积=.
    点评:正方形常见的辅助线是正方形的对角线。由正方形对角线的性质迅速得到O是三角形BCD的重心,利用三角形重心的性质使解答比较简捷。(重心性质见人教版八年级下册数学教材第115页第15题的结论)。
    
    解法二:如图1-3,连接OC,
    ∵F分别是CD的中点,∴△DOF的面积和△COF面积相等.
    由FC=EC,BC=DC,得.
    由,, .
    由OC=OC,CF=CE,OF=OE, 得△COF≌△COE,
    ∴△DOF的面积等于△DCE的面积的,即△DOF的面积=××1×=
    ∴空白部分的面积等于△DOF的面积的4倍,即为4×=
    ∴阴影部分的面积=1-=.
    点评:解答过程反复运用了全等三角形的有关知识,充分发挥了全等三角形在处理几何问题时的工具性。
    解法三:如图1-2,同解法一可知,AC过O点。而AC是正方形ABCD的对称轴,
    ∴,,△COF≌△COE,
    ∵AB∥FC,∴△ABO∽△CFO,相似比为AB:FC=2,面积比为4,设△CFO的面积为a,则△ABO的面积为.同理△ADO的面积为,△CEO的面积为,
    ∵EF分别是BCCD的中点,∴,
    ∴,∴阴影部分的面积=.
    点评:正方形的对称性、相似三角形性质的灵活运用,使解答比较巧妙。解答中根据所设,应用相似三角形的性质得到了图中有关三角形的面积关系,值得关注。
    
    解法四:如图1-4,作EM∥DC交BF于M.
    ∴相似比为,面积比为,设,则
    (由证法二知),
    ∵,相似比为,面积比为,∴
    且.
    ∴图中空白部分面积为,∴阴影部分的面积=1-=.
    点评:全等三角形和相似三角形性质综合应用,思路更加开阔灵活。
    解法五:如图1-5,过O作GH∥DC,PQ∥DC,分别交正方形四边于G、H、P、Q, 设HO=,则OG=.
    
    (由证法二知),∴DO=BO.
    又,∴Rt△DOQ≌Rt△BOG,∴DQ=BG, ∴HO=PO,
    ∴AHPO、CGOQ为正方形。∴阴影部分的面积等于矩形ADQP的面积。
    由
    ∴矩形ADQP的面积=1×==阴影部分的面积。
    点评:把不规则四边形用割补法转化为矩形是本解法的亮点。
    
    解法六:如图1-6,连接BD、EF,   EF分别是BCCD的中点,
    ∴EF∥BD, ,∴,相似比为,面积比为.
    设的面积为,则面积为4
    ∵BO:OF=2:1,∴的面积都为
    而, ∴
    阴影部分的面积=.
    点评:把求阴影部分的面积转化为求两个三角形分的面积。充分体现了转化的数学思想。
    归纳与思考:以上各种解法,使用的知识点较多,其中相似三角形、全等三角形的性质为解答提供了主要依托,使解答入口更宽。各种解法有共性,也有差别。观察思考的角度略有不同。解答中注重了转化的思想方法运用:解法一、解法六是把阴影部分面积转化为两个三角形的面积之和,解法二、解法三、解法四是把阴影部分面积转化求正方形面积与空白部分面积之差,而空白部分的面积求法由辅助线的不同而不同。解法五是把不规则的阴影部分面积转化为矩形面积来求。解答中也注重了方程的思想,后面四种解法都有“设、列、求”。而解法一应用三角形重心的性质,解答尤为简捷。 (责任编辑:admin)
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