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中考最值问题探究

http://www.newdu.com 2018-12-06 人民教育出版社 佚名 参加讨论

    中考最值问题探究
    江西省安福县城关中学 曹经富
    中考压轴题中频繁出现有关最值问题,常让很多同学束手无策,望而生畏,其实解这类试题关键是要结合题意,借助相关的概念、图形的性质,将最值问题化归与转化为相应的数学模型(函数增减性、线段公理、三角形三边关系等)进行分析与突破,现结合近年各地试题的特点进行剖析,希望能给同学一定的启示与帮助。
    一、在线段之和的最值问题中酝酿与构建,借用线段公理求解
    1(湖北荆门)如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,BAN弧的中点,P是直径MN上一动点,则PAPB的最小值为(    )
              
    A  2   B     C  1   D  2
    解析:PA+PB的线段之和最小值求法的依据是“平面几何中,两点之间线段最短”的数学模型与原理,故可作B 关于MN的对称点是H,连接AHMN于点PAH的长就是PA+PB的线段之和的最小值,借助圆圆周角定理,可知根据∠AOH=90°,巧妙构造Rt△OAH,根据题意运用勾股定理可求出AH=,所以PA+PB的最小值为故选B。
    点评:本题是课本著名原题“泵站问题”的变形与应用,解决本题的关键做出点B或A关于MN的对称点,然后利用线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短,并借助圆心角和圆周角的关系,构造直角三角形运用勾股定理计算最小值来解决问题.不管在什么背景图中,有关线段之和的最短问题,常化归与转化为线段公理“两点之间,线段最短”。而化归与转化的方法大都是借助于“轴对称点”。
    2 圆锥底面半径为10cm,高为10cm,
              
    (1)       求圆锥的表面积;
    (2)       若一只蚂蚁从底面一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处,且SM=3AM,求它所走的最短距离。
    思路点拨:利用底面半径、高及母线组成的直角三角形构造勾股定理求出母线长,进而借助扇形面积公式求出表面积;蚂蚁在圆锥表面上行走一圈,而圆锥侧面展开后为扇形,故可在展开图(扇形)上求点A到M的最短距离(即AM的长)。
    解析:(1)圆锥的母线长SA=,圆锥侧面展开图扇形的弧长 ,S=,∴S= S+ S=
    (2)沿母线SA将圆锥的侧面展开,得圆锥的侧面展开图,则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离,由(1)知,弧AA′= ,又SA′= AS=,SM=3A′M,∴SM=,∴在Rt⊿ASM中, ,所以蚂蚁所走的最短距离是50cm.
    点评:对于立体图形中要计算圆锥曲面上两点之间的最短距离,一般把立体的圆锥的侧面展开成扇形,转化为平面图形借助线段公理计算。将立体图形转化为平面图形是初中阶段常用的基本方法与思想。
    二、在具体情境中最值问题,借用函数图象的增减性求解
    3山东济南)如图,已知抛物线经过点(1,-5)和(-2,4)
            
    (1)求这条抛物线的解析式.
    (2)设此抛物线与直线y=x相交于点AB(点B在点A的右侧),平行于轴的直线与抛物线交于点M,与直线交于点N,交轴于点P,求线段MN的长(用含的代数式表示).
    (3)在条件(2)的情况下,连接OMBM,是否存在的值,使△BOM的面积S最大?若存在,请求出的值,若不存在,请说明理由.
    解析:(1)由题意得,解得b=—2,c=—4,故抛物线解析式为y=x2—2x—4
    (2)由题意得,解得,∴B点坐标为(4,4)将x=m代入y=xy=m,点N的坐标为(mm),同理点M的坐标为(mm2—2m—4)
    ∴MN= m-(m2—2m—4)=—m2+3m+4
    (3)作BCMN于点C,则BC=4—mOP=mS=MN·OP+MN·BC=2(—m2+3m+4)=—2(m2+,∵—2<0,∴当m=时,S有最大值
    点评:由具体情境酝酿与构建最值问题,通常有两种形式,一是在商品经营活动中,经常会遇到求最大利润、最大销量等问题,解此类问题的关键是通过题意及现实数量关系,确定出相关函数的表达式,另一类是在几何图形中有关面积的最值问题,解这类问题关键是要掌握图形面积的求解与表示,构建相应的函数关系式,进而根据函数图象的增减性确定其最值,并注意问题的实际意义。本题涉及两函数间的距离计算,距离可能是平行于x轴的AB两点间的距离:ABx=︳Ax-Bx︱;也可能是平行于y轴的AB两点间的距离:ABy=︳Ay-By︱,在本题中还可进一步设问,求线段MN长度的最大值,这种问题在近几年各地中考中频繁出现,解这类题往往是通过用变量表示MN的长度,进而构建相应的函数模型,借助函数图象的增减性进行求解最值。
    三 在线段之差的最值问题,借用三角形三边关系求解。
    例4:(贺州)如图,抛物线的顶点为A,与y 轴交于点B
             
    (1)求点A、点B的坐标.
    (2)若点Px轴上任意一点,求证:
    (3)当最大时,求点P的坐标.           
    解析:(1)抛物线y轴的交于点B,令x=0得y=2.
    ∴B(0,2), ∵ ,∴A(—2,3)
               
    (2)当点PAB的延长线与x轴交点时,
    当点Px轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时,
    在点PAB构成的三角形中,
    综合上述:
    (3)作直线ABx轴于点P,由(2)可知:当PA—PB最大时,点P是所求的点
    作AHOPH.∵BOOP,∴△BOP∽△AHP,∴ 
    由(1)可知:AH=3、OH=2、OB=2,∴OP=4,故P(4,0) 
    点评:点P为任意一点时,要探究PA-PB的最大值,可数形结合,将其转化为相关图形(三角形),三边关系始终满足两边之差小于第三边(︳PA-PB︱<AB),而当点A、B、P在同一直线上时存在PA-PB=AB,此时AB为最大值,今后有关两线段之差的最大值问题,常借助“三角形两边之差小于第三边”,将其最大值转化为一条特殊(三点共线)线段的长。
    作者简介:曹经富,男,中学高级教师,数学教研组长,立足课堂教学,潜心钻研中考及解题研究,发表文章百余篇,主编书稿4本。 (责任编辑:admin)
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