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数据的代表和数据的波动复习导航 山东沂源县徐家庄中学 左效平 一、知识要点回顾 1.数据的代表 平均数 算术平均数：一组数据  ，它们的平均数记作 ，则 = 。加权平均数：一组数据x1出现f1次，x2出现f2次，x3出现f3次，……xk出现fk次，其中f1+f2+f3+……+fk=n，它们的平均数记作 ，则= 。这个平均数叫做加权平均数。 中位数 定义：将一组数据按照一定顺序排列起来，最中间的数据或者最中间两个数据的平均数。 求中位数的基本思路： 求一组数据的中位数，循如下的基本思路： ①把数据按照从小到大或者从大到小的顺序进行排列；②确定数据的总数； ③确定总数的奇偶性；④如果总数n是一个奇数，则中位数是从左边起第  个数据；如果总数n是一个偶数，则中位数是从左边起第  个数据和第+1个数据的平均数。众数 定义：一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 2.数据的波动 反映数据波动的特征量 极差 方差 标准差。 极差 定义：数据中，数据的最大值与最小值的差。 方差 定义：定义：样本中各个数据与平均数之差的平方的平均数叫做样本的方差。 方差通常用S 2表示。 计算公式：用  表示一组数据的平均数，x1、x2、…xn 表示各个数据． 则S 2=  标准差 定义：方差的算术平方根。常用S表示。 特征量的共同意义： 特征量的值越小，样本的波动就越小，样本就越稳定。 二、考点透视 1.平均数的考点 考点1 平均数的定义 例1 (2009武汉)小明记录了今年元月份某五天的最低温度（单位：℃）：1，2，0，  ， ，这五天的最低温度的平均值是（ ） A．1 B．2 C．0 D． 分析：一组数据 ，它们的平均数记作，则 =。解：根据定义，得： = =0，所以，选C。考点2 平均数的实际应用 例2、（2009年泸州）在一次青年歌手大奖赛上，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5， 9.4， 9.6， 9.9， 9.3， 9.7，9.0，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数是 A．9.2 B．9.3 C．9.4 D．9.5 分析：在实际应用时，为减少个别数据对平均数的整体影响，我们经常采用去掉一个最高分和一个最低分后求平均的方法，以保证竞赛的公平性。 解：在这组数据中，9.5， 9.4， 9.6， 9.9， 9.3， 9.7，9.0， 最高分是9.9分，最低分是9.0分，去掉后还有：9.5， 9.4， 9.6， 9.3， 9.7，五个数据，所以，平均分是： = =9.5，所以，选D.。2.众数的考点 考点1 众数的定义 例3 （2009年广州市）在某校举行的艺术节的文艺演出比赛中，九位评委给其中一个表演节目现场打出的分数如下：9.3，8.9，9.3，9.1，8.9，8.8，9.3，9.5，9.3，则这组数据的众数是________。 解：在数据9.3，8.9，9.3，9.1，8.9，8.8，9.3，9.5，9.3中，出现次数最多的一个数据是9.3，所以，该组数据的众数是9.3. 考点2 众数的计算 例4 （2009河池）已知一组数据1，a，3，6，7，它的平均数是4， 这组数据的众数是 ． 分析：先利用平均数求出a的值，后根据众数的定义找到众数。 解：因为，数据1，a，3，6，7的平均数是4，所以，4=  ，解得：a=3，这组数据的众数是3。 考点3 众数的实际应用 例5 （2009仙桃）为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码的统计如下表所示，作为经销商他所关注的是鞋的（ ）．  A、中位数. B、众数 C、平均数 D、方差 分析：众数常用来说明一组数据的一般水平，当需要表示“多数水平”时，人们最关注众数。作为经销商，一定是关注哪一种型号的鞋的销售量最大，用统计学的知识来分析，就是众数问题。 解：选B。 3.中位数的考点 考点1 中位数的计算 例5 (2009年南充)已知一组数据2，1，  ，7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是（ ）A．2 B．2.5 C．3 D．5分析：要想求出一组数据的中位数，应循着如下的基本思路： ①把数据按照从小到大或者从大到小的顺序进行排列；②确定数据的总数； ③确定总数的奇偶性；④如果总数n是一个奇数，则中位数是从左边起第 个数据；如果总数n是一个偶数，则中位数是从左边起第 个数据和第+1个数据的平均数。解：因为，数据2，1， ，7，3，5，3，2的众数是2，所以，x=2，将数据排序为：1，2，2，2，3，3，5，7，数据总数8，是一个偶数，所以，中位数是从左边起第4个数据和第5个数据的平均数，即2和3的平均数，为2.5，所以，选B。考点2 中位数的应用 例6 （2009年吉林省）某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．极差 分析：对于各种比赛，我们所关注的参赛队员成绩的排位，通常是按照名次决定，所以，想知道自己能否进入决赛，就得关注自己的位次。解：选A。 4.方差的考点 考点1 甄选反映数据稳定性的特征量 例7 (2009年四川省内江市)今年我国发现的首例甲型H1N1流感确诊病例在成都某医院隔离观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解这位病人7天体温的（ ） A．众数 B．方差 C．平均数 D．频数 分析：反映数据稳定程度的统计量是方差。所以，要掌握他在一周内的体温是否稳定，就需要看病人7天体温的方差的大小。解：选B。 考点2 方差的计算 例8 （2009年孝感）某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表（有两个数据被遮盖）．
被遮盖的两个数据依次是 A．3℃，2 B．3℃，  C．2℃，2 D．2℃， 分析：（1）先利用平均数的定义，求出五号的气温得到数据 因为，平均数是1，所以，1=  ，解得：x=3，即五号的气温是3℃。（2）代入方差计算公式所以，S 2=  =2。（3）对照选项定答案，在选择时，一定要看准序号，看准选项。解：选A。 考点3 方差的意义 例9 （2009年湖南长沙）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为  ， ， ， ，则成绩最稳定的是（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 分析：通常方差越小，数据的平均数的代表性就越大，数据就越稳定。将所有的方差，进行大小比较，结论是：方差最小的，最稳定。 解：因为， ，，，，所以，  ，因此，丁的最稳定，所以，选D。考点4 用方差甄选参赛的选手 例10 （2009龙岩）为了从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他们的五次数学测验成绩进行统计，得出他们的平均分均为85分，且  、 、 、 ． 根据统计结果，派去参加竞赛的两位同学是（ ）A．甲、乙 B．甲、丙 C．甲、丁 D．乙、丙 分析：方差具有甄选功能。考试成绩的方差越小，就说明考生的成绩越稳定，水平发挥就越正常。。将所有的方差，进行大小比较，结论是：方差最小的，最稳定。 解：因为， ，，，，所以， ，因此，丁的最稳定，其次是甲，所以，最佳人选是甲和丁。所以，选C。作者简介：左效平，中学数学高级教师，山东省沂源县徐家庄中心学校副校长，擅长解题方法的探究和学法指导的归纳总结，在《中学生数理化》《中学数学杂志》《数学周报》《数理报》《数理天地》《中学生》等杂志，报刊刊发论文近百篇，在“希望杯”数学竞赛中获得命题奖二等奖，沂源县数学中心教研组成员。 (责任编辑：admin) |