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再探分段计费与优惠问题

http://www.newdu.com 2018-12-06 人民教育出版社 佚名 参加讨论

    再探分段计费与优惠问题
    湖北省黄市市下陆中学 宋毓彬
    我国公民个人所得税按分段累进税制计算;社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度;为鼓励节约用水、用电,水费、电费实行分段价格收费标准;商家为促销商品,实行分段优惠销售等。这些人们日常生活中经常打交道的问题中,都涉及到分段进行讨论的问题。解决这类问题的关键是要理顺部分与整体之间的关系。
    例1.依法纳税是每个公民应尽的义务,新的《中华人民共和国个人所得税法》规定,从2008年3月1日起,公民全月工薪不超过2000元的部分不必纳税,超过2000元的部分为全月应纳税所得税额,此项税款按下表分段累进计算,王先生4月份缴纳个人所得税金55元,那么王先生该月的工薪是      元。
    

    全月应纳税所得税额
    

    税率
    

    不超过500元的部分
    

    5%
    

    超过500元至2000元的部分
    

    10%
    

    ……
    

    ……
    

    (2009成都中考题)
    分析:公民全月工薪不超过2000元的部分不必纳税,若刚好超过500元时,需纳税500×5%=25元<55元,由此可知王先生工薪在2500元以上。若刚好超过2000元时,应纳税500×5%+(2000—500)×10%=175元>55元,由此可知王先生工资在4000元以下。
    设王先生工资为x元,x—2000的部分为应纳税所得额,其中不超过500元的部分按5%的税率纳税,超过500至2000元的部分(x—2000—500)元按10%纳税。
    依题意,500×5%+(x—2000—500)×10%=55,  解得x=2800
    即王先生该月的工薪是2800元。
    点评:在分段累进税制的计算过程中,计算某一段所得税时一定要注意减去前面已计税的所得额,不能重复计算。如本题中计算超过500元至2000元的部分税款,纳税所得额必须减去已按5%征税的500元。此外,解决这类问题,先由缴纳所得税金额估算月薪的范围,更有助于我们准确地列出方程。
    例2.为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控手段达到节水目的,该市自来水收费价格见价目表。
    

    价目表
    

    每月用水量
    

    单价
    

    不超过6m3的部分
    

    2元/m3
    

    超过6m3不超过10m3的部分
    

    4元/m3
    

    超过10m3的部分
    

    8元/m3
    

    注:水费按月结算。
    若某户居民1月份用水8m3,则应收水费2×6+4×(8—6)=20(元)
    ⑴若该户居民2月用水12.5m3,则应收水费      元。
    ⑵若该户居民3、4月份共用水15m3(4月份用水量超过3月份),公交水费44元。则该户居民3、4月份各用水多少立方米?
    分析:⑴2月用水12.5m3,按3段价格收费:6m3按2元/m3价格收费;超过6m3不超过10m3的部分共4m3按4元/m3的价格收费;超过10m3的部分按8元/m3的价格收费。
    2月应收水费为:2×6+4×4+8×(12.5—10)=12+16+20=48(元)
    ⑵由该户居民3、4月份共用水15m3(4月份用水量超过3月份),则该户3月分用水量小于7.5m3,4月份大于7.5m3。应分几种情况进行讨论。
    设该户居民3月用水量为x立方米,则4月份用水15—x立方米
    ①3月份用水少于5立方米(x<5),则4月用水大于10立方米(15—x>10)时。则3月应交水费2x元,4月应交水费2×6+4×4+8×(15—x—10)元
    依题意,2x+[2×6+4×4+8×(15—x—10)]=44,解得x=4,
    则15—x=11(立方米)    符合题意
    ②3月份用水不少于5立方米,但不多余6立方米(5≤x≤6),则4月份用水不少于9立方米,但不多于10立方米。
    依题意:2x+[2×6+4×(15—x—6)]=44,解得 x=2
    ∵5≤x≤6,x=2不合题意。                                     
    ③3月份用水大于6立方米小于7.5m3,则4月份用水大于7.5m3少于10立方米。
    依题意:[2×6+4×(x—6)]+[ 2×6+4×(15—x—6)]=44  方程无解
    综上三种情况,该户居民3月用水4立方米,4月用水11立方米。
    点评:第⑵问中要注意分类讨论各种极端情况,从而找出满足题意的解。其中合理分段是关键。
    例3.某超市对顾客实行优惠购物,规定如下:
    ⑴某一次购物少于200元,则不予优惠;
    ⑵某一次购物满200元,但不超过500元,按标价给予九折优惠;
    ⑶若一次购物超过500元,其中500元部分给予九折优惠,超过500元部分给予8折优惠。
    小明两次去超市购物,分别付款198元与554元,现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多物品,他需付款多少?
    (江苏省竞赛题)
    分析:第一次购物付款198元,因为200×0.9=180<198,所以可能是未享受优惠的实价,也可能是按九折后的优惠价。因此应分两种可能讨论。第二次购物付款554元,显然标价超过500元。
    ①若小明第一次购物付款198元未享受优惠时,设第二次购物的标价为x元。其中500元部分享受九折优惠,超过500元部分享受8折优惠。
    衣题意,500×0.9+(x—500)×0.8=554  解得  x=630
    则小明两次购物的总标价为:198+630=828(元)
    小亮若一次去购买小明分两次购买的同样多物品,他需付款:
    500×0.9+(828—500)×0.8=712.4(元)
    ②若小明第一次付宽款198元为享受九折优惠的优惠价,设第一次购物的标价为y元。
    依题意有,0.9y=198   解得   y=220
    则小明两次购物的总标价为:220+630=850(元)
    小亮若一次去购买小明分两次购买的同样多物品,他需付款:
    500×0.9+(850—500)×0.8=730(元)
    所以,小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多物品,他需付款712.4元或730元。
    点评:在分段优惠的问题中,要注意顾客所付款是否享受了优惠。一般先要对享受优惠的最低消费进行估算判断,然后决定是否需要分类讨论。此外,要注意在不同的优惠段,不再包括前面已享受优惠的金额。
    练习:
    1.自2006年1月1日起,某市全面推行农村合作医疗,农民每年每人只要拿出10元就可以享受到合作医疗。住院治疗的病人享受分段报销,保险公司制定的报销细则如下表:
    

    住院医疗费(元)
    

    报销率(%)
    

    不超过3000元的部分
    

    15
    

    超过3000元到4000元的部分
    

    25
    

    超过4000元到5000元的部分
    

    30
    

    超过5000元到10000元的部分
    

    35
    

    超过10000元到20000元的部分
    

    40
    

    超过20000元的部分
    

    45
    

    某人住院后得到保险公司报销的金额是805元,那么此人住院的医疗费是多少元?
    (淄博市中考题)
    (提示:先根据报销金额,估算医疗费的范围,在根据其范围分段累加报销费用列出方程。参考答案:4350元)
    2.某大型超市元旦假期举行促销活动,规定一次购物不超过100元的不给予优惠,超过100元而不超过300元时,按该次购物金额九折优惠。超过300的其中300元仍按9折优惠,超过部分按8折优惠。小美两次购物分别用94.5元和282.8元,现小丽决定一次购购买小美分两次购买的同样的物品,那么小丽应该付款多少元?
    (海南省竞赛题)
    (提示:小美第一次购物付款94.5元,100×0.9<94.5<100,可能是未享受优惠的实价,也可能是享受了九折的优惠价,需分类讨论。第二次购物付款282.8元,282.8>300×0.9,则第二次购物标价一定超过300元。参考答案:355.4元或366.8元。)
    本文曾发表于《数理天地》(初中版)2011年7月第7期.
    作者简介:宋毓彬,男,45岁,中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《数理天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《语数外学习》、《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《少年智力开发报》、《学习报》、《小博士报》、《课程导报》等报刊发表教学辅导类文章80多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究。 (责任编辑:admin)
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