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三、解答题 31．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，sinC=3/5，AC=8，BD平分∠ABC交边AC于点D．  求（1）边AB的长； （2）tan∠ABD的值． 答案解析： 31．（1）AB=6；（2）tan∠ABD=1/2. 【解析】 【分析】 （1）先解Rt△ABC，得出sinC=AB/BC=3/5，设出AB=3k，则BC=5k，由BC2-AB2=AC2，得出方程（5k）2-（3k）2=82，解方程求出k的值，进而得到AB；[来源：www.jzjy365.com] （2）过D点作DE⊥BC于E，设AD=x，则CD=8-x．根据角平分线的性质得出DE=AD=x，利用HL证明Rt△BDE≌Rt△BDA，得到BE=BA=6，那么CE=BC-BE=4．然后在Rt△CDE中利用勾股定理得出DE2+CE2=CD2，即x2+42=（8-x）2，解方程求出x的值，即为AD的长，再根据正切函数的定义即可求解． 【详解】 （1）∵在Rt△ABC中，∠CAB=90°， ∴sinC=AB/BC=3/5，BC2-AB2=AC2， ∴可设AB=3k，则BC=5k， ∵AC=8， ∴（5k）2-（3k）2=82， ∴k=2（负值舍去）， ∴AB=3×2=6； （2）过D点作DE⊥BC于E，设AD=x，则CD=8-x．  ∵BD平分∠CBA交AC边于点D，∠CAB=90°， ∴DE=AD=x． 在Rt△BDE与Rt△BDA中， BD=BD DE=DA， ∴Rt△BDE≌Rt△BDA（HL）， ∴BE=BA=6， ∴CE=BC-BE=5×2-6=4． 在Rt△CDE中，∵∠CED=90°， ∴DE2+CE2=CD2， ∴x2+42=（8-x）2， 解得x=3， ∴AD=3， ∴tan∠DBA=AD/AB=3/6=1/2. 【点睛】 本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，全等三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解决第（2）问的关键． (责任编辑：admin) |