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微分方程通解的三种形式

http://www.newdu.com 2022-01-10 初三网 admin 参加讨论

    1、由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解,故可得方程的通解是:y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。2、通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解;n阶微分方程就带有n个常数,与是否线性无关。通解只有一个,但是表达形式可能不同,y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解,但y=C1y1就是特解。
    微分方程通解的三种形式
    微分方程通解三种形式
    第一种:由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解,故可得方程的通解是:y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。
    第二种:通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解;n阶微分方程就带有n个常数,与是否线性无关;
    通解只有一个,但是表达形式可能不同,y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解,但y=C1y1就是特解。
    第三种:先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解
    特征方程为2r²+r-1=0
    (2r-1)(r+1)=0
    r=1/2或r=-1
    故通解为Y=C1e^(x/2)+C2e^(-x)
    因为1不是特征根,所以设原方程的特解为y*=Ae^x
    则y*'=y*''=Ae^x
    代入原方程得,2Ae^x=2e^x
    A=1
    故y*=e^x
    所以原方程的通解为y=Y+y*
    即y=C1e^(x/2)+C2e^(-x)+e^x
    微分方程介绍
    微分方程,是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。
    微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛,可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题,如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题,很多可以用微分方程求解。此外,微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
     (责任编辑:admin)
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