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二次函数的定义 注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式; (2)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数; (3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数; (4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数。 二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2;+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P(h，k)] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a 3二次函数的顶点坐标公式 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A(x₁ ，0)和 B(x₂，0)的抛物线] 其中x1，2= -b±√b^2-4ac 顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h，k)] 一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a= (x₁+x₂)/2 k=(4ac-b^2)/4a 与x轴交点：x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a 4二次函数的平移规律口诀 加左减右，加上减下。 意思就是当二次函数写成下面这个样子时： y=a(x+b)²+c，只要将y=ax²的函数图像按以下规律平移。 (1)b>0时，图像向左平移b个单位(加左)。 (2)b<0时，图像向右平移b个单位(减右)。 (3)c>0时，图像向上平移c个单位(加上)。 (4)c<0时，图像向下平移c个单位(减下)。 抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。 常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0，c) 抛物线与x轴交点个数 Δ=b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a) (责任编辑：admin) |