浙教版八年级上·一次函数的图像
    图中的黑体字是本书中，第一次直接写出有关于k与图像的关系有关的结论。因此，很多学生在提到这个问题的时候，都会完整的背一遍这句话，诚然这种做法短期内没有太大危害，甚至可以说通过大量的题型训练迟早会掌握，但是这显然没有让学生产生比较好的理解，对于之后的学习并没有好处。而很多学校的学生教科书上，我甚至看到了老师让学生背的好几句话，例如：“k>0，b>0，过一、二、三象限”，这样的句子。有意思的是，老师忘记写b=0的情况，不少学生只要你一问他b=0图像过哪几个象限，会立刻发懵，稍微想一想才反映过来，那就是正比例函数了，但是这样的学生会在正比例函数是不是一次函数的问题上，再度发懵。
    2. 讲解时多用中文术语。这是个小细节，不注意的话对于大部分学生其实没有影响。但是如果题目中出现了：y=bx+k，有一部分学生会发昏的。推荐用：斜率、截距这两个词。不用深刻的理解，斜率让学生暂时理解成，一次函数一般式中x的系数;截距指的是一般式中的常数项。其实这两个名词很巧妙，斜率这一个词基本解释了k的几何意义，对后续学习也有好处。
    3.尽量用动态演示。不需要做一个很专业的动画软件，其实用几何画板就可以动态演示，操作也很简单。动态的演示不仅仅是有利于学生的记忆，它可以让知识形象化。“倾斜程度大图像，k的绝对值也越大”，这句话基本不会默写，但是从自然语言转化的数学与语言，再转化成图像还是很麻烦的。我在课上通过拖动k值演示一下，学生的语言很不规范，但是基本可以说出k如果变大会怎么“转”，变小怎么“转”。在学生脑海中出现的是一副动态图，语言反过来只是表达。如果对于学有余力的学生，你甚至可以问一句，绕着谁转呢[(0,b)]。
    接下来我以一次函数为例说一说，这一堂课，在上述原则下我们应该怎么讲，讲什么。
    三、 以一次函数为例
    (一)教科书中的暗示
    接着上面的例子，单调性真的是本书第一次提及函数图像与系数的关系吗?答案是否定的，在前一部分的练习中，有这么一道题：
    

    仔细观察一下，会发现这道题的数字出的很有特点显然是要让学生找规律了，而问题是与坐标轴的交点，那么我们不妨先把斜率放下，相比于与x轴的交点，与y轴的交点在这题是很直观的。为什么后两幅图像与y轴交点是一样的?他们什么是一样的，什么不一样?与y轴的交点可能与什么有关?
    这里就首先出现了对截距的知识，教师必须在这里提及谁决定了与y轴的交点。此处的提及要强调两点：第一，与y轴交点就是(0，b)，截距就是与y轴交点的纵坐标;第二，与斜率没有任何关系，与y轴的交点与k值无关。第二点尤其重要，这让k与b的分工彻底区分开，表示了b决定了图像的位置，k不决定位置。如果联想到二次函数，会发现很类似的结论，与抛物线形状有关的其实只有a，b、c都在一定程度上影响了抛物线的位置，这点在复习的时候很好用。
    (杭州英特外国语学校初中数学九年级上2017年第三次月考)例题：在同一坐标平面内，图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是(　　)
    A.()﹣y=2(x+1)2﹣1B.y=2x2+3
    C.y=−2x2−1D.y=12x2−1
    同时，这也就解释了为什么b=0的时候会过原点，在演示中，教师保持k不变，学生就可以轻易的看出，随着b的变化，直线是在上下平移的。而后才出现了单调性的结论。如果说前一个问题解决了b的几何意义，那么这里就是要解决k的几何意义。也就给出了我们教学的基本思路：
    1. k和b应该分开理解，让学生了解它们各自的分工，并且互不干扰。
    2. 从难易程度上来说b相对简单，应该先讲b再讲k。
    因此这一堂课其实只有两个点：k决定了直线的倾斜角度，b决定了图像的位置。
    (二)k的教法
    在讲解完截距后，k其实就相对好讲，引入也很简单：“b决定了图像与y轴的交点，那么k决定了什么呢?”这里大可以让学生猜一猜，会有猜与x轴交点的，这其实也不算错，之后可以作为一个补充结论，不过意义不太大。
    在这里可以动态演示，当截距不变时，k上下变化图像会如何变化?从感觉上来看，学生都会发现是在绕着一个点旋转，可以问一句这个点是什么?(0，b)，这也算验证了之前的所学，这里可以让学生自己描述自己的看法，教师要听到联系性的描述。不一定是非常准确的描述，要听到k变大变小时，图像会如何变化这样发现数字和图像直接因果关系的句子就算成功。那么我们要总结出三个结论：
    1. k的正负与图像的上升和下降。仅仅依靠这个，就可以与之前的知识结合起来解决一些题型了：
    例题：直线y=kx+b经过一、三、四象限，则直线y=bx-k的图象只能是图中的( )
    

    一次函数的位置与系数的关系
    不要让学生去记复杂的东西，把情况只分成两类k的正负与上升和下降，不然过段时间不用绝对会忘。
    2. 上升下降与k的正负，反过来也可以快速说出。这点就不多做解释，b的正负问题可以一起解决。
    3. 倾斜程度与k的大小问题。有的老师会问，记得k大于0一定过一、三，反之一定过二四，不演示行不行。肯定是不合适的，比如：
    

    k与倾斜角
    例题：如图，三个正比例函数对应的解析式为①y=ax;②y=bx;③y=cx，则a、b、c的大小关系是( )
    A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.b>c>a
    此处一定要强调倾斜角度指的是与x轴的夹角，夹角越大k的绝对值越大。这道题很适合拿来做，因为学生可能会在③这条线上出错，此时它的k是负数，肯定是最小的。
    在最后一定要反过来强调，斜率只决定了倾斜角度，截距只决定了位置，关键在于“只”，它是让问题简单化的关键。
    (三)为什么这样教
    1. 这种方式在我实践下来基本所有学生都可以理解，相比于死记硬背，这也是效率明显比较高的方式。
    2. 对后续的教学有利。实际上，我们这一课之后会涉及到平移的有关问题，在这种k和b完全分开的教学后，平移我们起码可以让学生明白，k是一定不会变的。如：
    例题：如果直线y=m2x+m−1是由直线y=x平移得到的不同直线，那么是经过怎么样的平移得到的?
    而这之后，我们也可以方便的通过图像向学生解释，为什么增减性问题只与k有关，因为k决定了上升或者下降，b只决定了图像位置。
    另一方面，其中将各个系数分开理解的理解方式，对后续二次函数的教学会有好处。
    3.兼顾到了优等生。在习题中，我们可以以此为基础，夹杂难度比较高的题型，补充一些难度高，教材中不要求掌握的知识点如：
    (1)两直线平行的条件：k相等b不等。
    (2)两直线垂直的条件探究：斜率互为负导数。
    (3)一些利用几何意义解决的难题：
    例题：已知A(3，5)，B(5，4)，若直线y=kx-2k与线段AB有交点，那么k的取值范围是_________.
    比如上题就是利用过定点(2，0)，只要考虑k刚好交于A、B点的情况，就可以判断出k的范围。
    四、 其他函数的要点一览
    (一)反比例函数
    1. k的正负决定了象限
    2. k的绝对值大小决定了图像与原点的距离，例题：
    (2010大港区一模)如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y=kx(k≠0)与△ABC有交点，则k的取值范围是____________________-.
    

    3. 双曲线上任意一点向x轴、y轴作垂线段，与x轴、y轴围成的矩形面积为|k|.
    例题：在平面直角坐标系中，A，B是反比例函数y=4x在同一支上的不同两点，过A，B分别向x轴y轴作垂线，垂足为E、F，求证：EF∥AB.
    

    (二)二次函数
    1. 一般式、顶点式、交点式的a(二次项系数)意义相同，都决定了开口大小和方向。A的绝对值越大开口越小。
    2. 在顶点式中，可以直接读出顶点坐标以及对称轴
    3. 在一般式中：(1)c是截距(2)b有左同右异(3)顶点坐标公式
    4. 在交点式中，可以直接读出与x轴的交点，以及知道怎么样计算对称轴位置。
    5. 了解Δ的数性与图像的关系，(1)Δ>0，与x轴有两个交点;(2)Δ=0与x轴有一个交点;(3)Δ小于0与x轴无交点
    *6.a+b+c与a-b+c分别是x=1和x=-1时的y值。
    五、结语
    本文只讨论怎么样把有关函数图像的知识点讲精，所以很多考点比如利用二次函数解决最值问题，不是不重要，而是不在本文的讨论范围内。我最想写的东西，是想表明，如果一个教师想完成教科书上的目标，那么我们有哪些东西要讲透。这次列举的浙江版教科书，很多东西在参考用书上可能会写，但对于年轻教师来说，其实最大的难点在于要讲什么。讲题目容易，讲课难。
    课本上好像就那么点东西，有时候觉得学生自己看书都能看懂。我觉得不是这样的，老师还是要把学生想得笨一点，书本如果说是告诉了学生“是这么一回事“，教师的工作就是告诉学生”怎么理解这个内容“”为什么会这样“”怎么样在你的记忆中去编排它“。按照我的恩师的说法，一个教师的水平，就体现在怎么把复杂的东西说得简单，很多学生搞不懂函数，其实这就是老师没抓住函数的本质。一次函数就学两个字母k和b。我们的任务不是把题型分化，而是把所有题型都转化成k和b两个问题。要让学生觉得原来所有的题目都是一个样子，”万变不离其宗“。
    我不太写这些东西，水平也有限的很，不过很高兴的是，之前发的文章虽然没什么反响，但是也有几个跟我一样对教学有兴趣的年轻老师想法儿加了我微信，想有时候探讨一下教学。若要说我有什么想做的，就是尽可能多的预见更多同好，没有太多想法，就是想知道怎么把课上好，互相交流经验。同志虽少，但总聊胜于无。
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