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对一类规律探究型中考题的探究 湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬 1．规律探究型中考题概述 探索规律是数学发现过程中的一种创造性思维，也是探索发现新知识的一种重要手段。新课程标准试行以来，一类规律探究型试题成为中考命题热点。这类中考试题主要是要求学生通过观察、归纳、发现的方法，从具体、特殊的数学事实中探究出其存在的规律，把潜在一些数学问题表象中的本质挖掘出来，既考察学生接受新知识的能力，又考察学生观察、归纳、猜想能力，对学生的数学能力有着非常高的要求。这类试题大都作为“小压轴题”出现在选择、填空题的最后一题，带有较强的选拔性。 规律探究型中考题很多问题实质上是高中数学中的数列问题。就目前常见的试题形式按内容分类主要有：①数值出现规律的探究；②数式的结构规律探究；③特殊几何图形的出现规律探究；④点的坐标变化规律的探究等。解决这类问题对应的基本策略一般有列举归纳法、观察归纳法和数形结合分析法。 2．求解规律探究型试题的常见策略 2．1策略一：列举归纳法 中考数学试题中的数值出现规律探究问题，通常可采用列举法进行求解。所谓列举法，就是按照一定顺序列举一定数量的运算过程和结果，从运算过程中或是从运算结果中归纳出运算过程或运算结果的规律。 运用列举法求解这类问题时，有时只需列举三、五个数式就可以看出其中的规律。但如果遇到比较复杂的问题时，也许仅列举三、五个数式无法看出其中的规律，这时就需要继续向后列举，直到能看出规律为止。一般而言，列举的数式最多可能在10~12个左右。 对于规律探索型的问题，很多时候就因为列举的数值不够，从而无法找出规律。因此在遇到规律探究型问题时应切记“进一步，将海阔天空。” 例1．（2010南宁）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21……叫做三角形数，它有一定的规律性.若把第一个三角形数记为  ，第二个三角形数记为 ，……，第 个三角形数记为 ，计算 ……，由此推算， ____________， __________.分析：解决本题关键是要分别计算出 ……，观察发现规律，进而推导a －a 与n的一般关系式。观察a1、a2、a3、a4、a5、a6的值，可发现 由a2－a1=3－1=2；a3－a2=6－3=3；a4－a3=10－6=4；a5－a4=15-10=5…… 可推算a100—a99=100 由a2－a1+a3－a2+a4－a3+……+ a100—a99=  ∴a100－a1=5049，a100=5049+1=5050 点评：列举相邻三角数的差值，可发现an－an－1=n，叠加所有的差可得到a100－a1的一个关系式。这道试题的本质上是一道高中阶段的数列问题。 例2．（2009年杭州）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树终止在点Pk（xk，yk）处，其中xi=1，yi=1，当k≥2时，  ，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0。按此方案，第2009棵树种植点的坐标为（ ）。A．（5，2009） B．（6，2010） C．（3，401） D．（4，402） 分析：解决本题应先求出一部分Pk的值，然后从这些值中找出数值的出现规律。 当k=1时，P1（1，1） 当2≤k≤5时，P2、P3、P4、P5的坐标分别为（2，1），（3，1），（4，1），（5，1）； 当k=6时，P6（1，2）； 当7≤k≤10时，P7、P8、P9、P10的坐标分别为（2，2），（3，2），（4，2），（5，2）； 当k=11时，P11（1，3） 当12≤k≤15时，P12、P13、P14、P15的坐标分别为（2，3），（3，3），（4，3），（5，3）； …… 通过以上数据可以发现：当k=5n+1时，Pk的坐标为（1，n+1）， 而后面四个点的纵坐标均为n+1，横坐标则分别为2，3，4，5。 即（2，n+1），（3，n+1），（4，n+1），（5，n+1） ∵2009=（5×401+1）+3，∴P2009的横坐标为4，纵坐标为402。即P2009（4，402） 点评：此题在列举部分Pk的坐标时需要有耐心，当列举的三、五个点看不出规律时，继续向后列举，直到能看出规律为止。一些同学之所以没有找出坐标规律，在于仅列举了5到6个点的坐标，如果列举到12个以上的坐标规律就比较明显了。 2．2策略二：观察归纳法 对于中考试题中数式的结构规律探究问题或是图形的计数问题，往往需要充分观察数式或是几何图形的结构，并从特殊的结构中寻找并归纳出存在的规律。这种方法我们通常称为观察法。 用观察法求解这类问题，一般是通过观察归纳出“通项”进行解决。可能是通过列举计算来观察发现规律，也可能是直接对运算过程进行特殊变形后直接观察归纳出数式的结构规律，对于几何图形的计数问题，要善于找到切入点，可将问题分成“变”与“不变”两部分来考虑。尤其是要抓住不变的部分，以此为基础观察变化部分的规律。 对数式规律问题的探究或是几何计数问题探究，要注意找出“通项”，同时要注意数式中的符号问题。用好“通项”，很多规律性问题就迎刃而解。 例3．（2010年济宁）观察下面的变形规律：  ＝1－ ；  ＝－ ； ＝－ ；……解答下面的问题： （1）若n为正整数，请你猜想  ＝ ；（2）证明你猜想的结论； （3）求和： ＋＋＋…＋ 分析：求解本题的关系是通过观察所给式子的结构特点，找出等式左、右两边的数量关系。由⑵中归纳的规律求解⑶。 ⑴等式左边为两个连续自然数积的倒数，等式右边为这两连续自然数倒数的差。由此猜想 = － 。⑵证明略。 ⑶原式=1―  +―+―+……+ － =1－ = 点评：通过观察等式两边式子的特征得到“通式” =－，并在⑵中利用分式的加减给予证明，再利用⑵中结论解决实际问题。通过这道试题揭示出知识的发现、猜想、证明并应用的形成过程。例4．（2010青岛）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子．   分析：由前三个图案的摆放规律及特点，寻找每个图案摆放棋子枚数与次序n的关系。 摆第一个图案需要7枚棋子（1+6） 摆第二个图案需要19枚棋子（1+6+12） 摆第三个图案需要37枚棋子（1+6+12+18） 依此方式，摆第六个图案需要1+6+12+18+24+30+36=127 摆第n个图案需要1+6（1+2+3+……+n）=3n2+3n+1 点评：寻找图形的计数规律，关键是观察图形的结构组成，通过列举部分图形，找出其中的变化规律，从而推测出通式。 2．3 策略三：数形结合分析法 对于点的坐标出现规律的探究，由于是在直角坐标系中进行的，同时与相应的几何图形的性质有关，因此要注意数形结合，并充分利用好几何图形的有关性质来找规律。 几何图形点的坐标变化规律的探究，与几何图形的性质关系密切。只有充分利用图形的几何性质，理解图形变换的实质与过程，才能找出图形位置的变化规律，从而得到相应点的坐标变化规律。 在这类问题的求解过程中，一是要熟悉几何图形常见的平移、旋转、翻折、相似等变换的性质；二是要熟悉一些特殊几何图形的有关性质，尤其是等腰三角形、等边三角形、正方形、平行四边形等特殊图形的基本性质。对几何图形的性质认识不够往往是这类问题的求解障碍。 例5．（2010湖北十堰）如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，……，四边形PnMnNnNn+1的面积记为Sn，通过逐一计算S1，S2，…，可得Sn= .   分析：要计算四边形PnMnNnNn+1的面积Sn，关键是要通过逐一计算出S1，S2，…，从中发现Sn与n之间的关系规律。 如图，当梯形的上底、腰均为1，下低为2时，高为  。由上底与下底的比为1：2，记梯形阴影部分上侧三角形面积为S△1，由△AN1M1∽△P1C1M1。 S△1= S△AN1M1=××2×× = ，S梯形=（1+2）×= ∴S1=S梯形－ S△1= －同理可求得：S2= － ，S3=－ ……由S1，S2，S3，…中12=3×4，20=5×4，28=7×4 可类推得Sn= － · 点评：本题中所求的阴影部分的面积是梯形减去上部所“去掉”的三角形面积。因为梯形面积为一个定值，关键是如何求得这个三角形的面积。结合梯形上、下底平行的性质，利用梯形上部小三角形与梯形左侧的三角形相似，并结合相似三角形对应高、对应面积的比可求出S1，S2，S3，…，从而推测出Sn的表达式。 例6．（福州2010）如图，直线  ，点 坐标为（1，0），过点作 的垂线交直线于点 B，以原点O为圆心， 长为半径画弧交轴于点 ；再过点的垂线交直线于点 ，以原点O为圆心， 长为半径画弧交轴于点 ，…，按此做法进行下去，点 的坐标为（ ， ）。 提示：求点A5的坐标，即求OA5的长度。由B1，B2，B3在直线 上，可逐步求出各点坐标，结合勾股定理可求得线段OB1，OB2，OB3的长度。当x=1时，代入 ，得y= ，OA1=1，A1B2=，OB1=2∴OA2= OB1=2，A2B2=2 ，OB2=4OA3= OB2=4，A3B3=2 ，OB3=8OA4= OB3=8，A4B4=8 ，OB4=16∴OA5= OB4=16，A5点的坐标为（16，0） 点评：利用一次函数关系式求出B1，B2，B3点的坐标，由勾股定理求出OB1，OB2，OB3 、OB4的长度，由半径相等得到OA5= OB4，可求出OA5的长度，得到A5点的坐标。递推点的坐标，可进一步找出得到An的坐标（2n－1，0）。 3．同步练习 1．（2010河北）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图6-1．在图6-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是   A．6 B．5 C．3 D．2 提示：骰子变换3次为一个周期。10次变换后与第一次变换后的情况相同。故选B。 2．（2009年江苏）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数： －（1+ ）；第2个数： －（1+）（1+ ）（1+ ）；第3个数： －（1+）（1+）（1+ ）（1+ ）（1+ ）；…… 第n个数： －（1+）（1+）（1+）……（1+ ）那么在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是：（ ） A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数 提示：列举前几个数的计算结果，寻找计算第n个数的通式，关键在于第二项乘积的计算。第n个数：  －3．（2009年深圳）已知a1=  =，a2= = ，a3= = ，……，依据上述规律，则a99= 。提示：观察上面的式子结构可发现，an=  += 。4．（2010年黄石市初三调研考试题）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2010次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，……，P2010的位置，则P2010的横坐标x2010= 。  提示：确定点P2010的横坐标，关键是要找到正方形OAPB在翻转过程的位置变化规律。 一是通过继续列举P1，P2，P3，P4后面的点，发现P点坐标的变化规律，这是学生在解决这类问题时最常用的方法；二是通过分析旋转过程中点的位置变化，找到点的位置与翻转次数的关系。 方法1：这些点中P4n+1坐标都等于翻转的次数，其他点的坐标变化满足以下规律：P4n+1横坐标为4n+1，P4n+2，P4n+3的横坐标均为4n+2，P4n+4的横坐标为4n+3。 ∵2010=502×4+2，∴x2010=2010 方法2：将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转，每翻转一次，正方形向右平移了一个单位，正方形起始位置P点位于左上角，在翻转过程中按照左上角、右上角、右下角、左下角的顺序改变位置。2010÷4=502……2，即翻转2010次，P2010位于正方形右上角位置，故x2010=2010。 5．（2010南宁）如图所示，点 、、在轴上，且 ，分别过点、、作 轴的平行线，与反比例函数 的图象分别交于点、、 ，分别过点  作轴的平行线，分别与轴交于点   ，连接   ，那么图中阴影部分的面积之和为___________.   提示：要求阴影部分的面积和，关键是求三个阴影部分的面积。由反比例函数 ，则B1（1，8），B2（2，4），B3（3， ），OB2所在直线方程为y=2x，当x=1时，y=2；OB3所在直线方程为y= x，当x=2时，y= 。可求得S1，S2，S3，∴S阴影= S1+ S2+ S3=4+1+ = 。6．（2010连云港17题）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出＋＋＋…＋＝________．  提示：四边形A1ABB1的面积为=1－ ，四边形A2ABB2的面积为＋=1－ ，四边形A3ABB3的面积为＋＋=1－ ，……，由此可推出＋＋＋…＋＝1－ 。作者简介：宋毓彬，男，45岁，中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《数理天地》、《中学数学》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《语数外学习》、《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《少年智力开发报》、《学习报》、《小博士报》等报刊发表教学辅导类文章90多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究。 (责任编辑：admin) |