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从最佳答案谈思考问题的角度

http://www.newdu.com 2018-12-06 人民教育出版社 佚名 参加讨论

    从最佳答案谈思考问题的角度
    湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学 赵国瑞
    一次,英国某家报纸举办了一项资金丰厚的有奖竞答活动,题目是:
    3位科学家同时乘坐一个充气不足的热气球旅行.第一位是个环保专家,他的研究可以拯救无数人,使他们免于因为环境污染而面临死亡的厄运.第二位是个核专家,他有能力防止全球性的核战争,使地球免于遭受灭亡的绝境.第三位是个粮食专家,他能够运用其专业知识在不毛之地种植多种粮食,使成千上万的人脱离饥荒的命运.
    此刻,热气球即将坠毁了,我们必须选出一个人,把他丢下去以减轻重量,使其余的两人得以存活,请问我们该丢下哪一位关系世界兴亡命运的科学家呢?
    问题刊出后不久,各地的信件便如雪片般飞来了,大家谁都想拿到那笔诱人的丰厚奖金,因此每个人都竭尽所能,甚至是天马行空地阐述着他们认为必须丢下那位科学家的宏观见解.
    但最后的结果却让所有人大吃一惊,巨额奖金的得主竟然是一个不到10岁的小男孩.他的答案是:把最胖的科学家丢下去.
    三个科学家都是在不同领域对世界兴亡产生举足轻重的人物,表面上看丢下哪一位科学家都不行,如果仅停留在三位科学家“谁更重要”这个角度,就会陷入出题者布下的陷阱!而小男孩能够独辟蹊径,从“如何减轻重量”这个角度思考,当然应该把最胖的科学家丢下去,从而赢得巨额奖金.看来,思考问题的角度很重要,解决数学问题亦是如此.
    先看2007年四川内江的一道中考题:小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯,他把纸杯整齐地叠放在一起,如图1,请你根据图中的信息,若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时,它的高度约是(  )
               
                       图1
    A.106cm             B.110cm             C.114cm             D.116cm
    对于该题,大部分同学会这样思考:为了求出100个纸杯整齐叠放在一起时的高度,需先求出一个纸杯的高度及每增加一个纸杯时增加的高度.
    于是设一个纸杯的高度为xcm,每增加一个纸杯高度增加ycm,根据图中的信息,得解这个方程组,得
    所以100个纸杯的高度是7+1×(100-1)=106(cm).故应选(A).
    还有一部分同学注意到“每增加一个纸杯时增加的高度相同”,便断定纸杯的高度与纸杯的个数两者具有一次函数关系.于是设纸杯的高度y与纸杯的个数x之间的函数关系式为y=kx+b
    根据题意,得.解得.所以纸杯的高度y与纸杯的个数x之间的函数关系式为y=x+6.当x=100时,y=106(cm).故应选(A).
    上面两种解法分别是从“一个纸杯的高度加上增加的纸杯的高度”和“一次函数”的角度求解,都需要列方程组,本来无可厚非.能不能对原题的解法再进行改进呢?
    如果能从“原来纸杯的高度加上增加的纸杯的高度”这个角度来求100个纸杯整齐叠放在一起时的高度的话,本题根本无需列方程组,甚至可以口算.由“3个纸杯叠放在一起时的高度是9cm”可知,只要用9cm再加上增加的97个纸杯叠放在一起时的高度就是100个纸杯叠放在一起时的高度(当然也可由“8个纸杯叠放在一起时的高度是14cm”,用14cm再加上增加的92个纸杯叠放在一起时的高度).结合“8个纸杯叠放在一起时的高度是14cm”可知,每增加一个纸杯高度增加(14-9)÷(8-3)=1(cm),所以100个纸杯整齐叠放在一起时的高度为9+97=106(cm).故应选(A).这样思考是不是更简捷呢?
    再看2010年广西南宁的一道中考题:
    正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图2所示,点G在线段DK上,正方形BEFG的边长为4,则△DEK的面积为(  ) 
             
             图2
    A.10    B.12    C.14    D.16
    注意到△DEK是一个一般三角形,直接求其面积非常困难,于是我们想到运用割补法,将△DEK的面积转化为规则图形的面积之和或差.
               
                        图3
    如图3,延长AEPK的延长线于点H.则SDEK=S正方形ABCD+S正方形BEFG+S矩形EHPF-SADE-SCDG-SPGK-SEHK
    不妨设正方形ABCD、正方形RKPF的边长分别为ab,则
    SDEK=a2+42+4b-a(a+4)-a(a-4)-b(b+4)-b(4-b)
    =a2+42+4b-a[(a+4)+(a-4)]-b[(b+4)+(4-b)]
    = a2+42+4b-a·2a-b·8=a2+42+4b-a2-4b=42=16.故应选(D).
    或许有些学生认为上面求SDEK的表达式比较麻烦,他们注意到四边形AHKD是一个梯形,这样SDEK可表示为S梯形AHKD-SDAE-SEHK,表达式肯定会变得简单.于是
    SDEK=S梯形AHKD-SDAE-SEHK=(a+4-b)(a+4+b)-a(a+4)-b(4-b)
    =[(a+4)2-b2-a(a+4)-b(4-b)]=(a2+8a+16-b2-a2-4a-4b+b2)
    =(4a-4b+16).
    由于已知条件并没有直接告诉4a-4b的值,有的同学做到这里“卡壳”了.怎么办呢?下面的事情就是求出4a-4b的值,为此需要找出ab的关系.注意到△DCG∽△GPK,则有=,即=.∴ab=(a-4)(b+4),整理得4a-4b=16.
    于是SDEK=(4a-4b+16)=(16+16)=16.
    所以从表面上看,将SDEK的表达式变得简单了,似乎求解过程也应该简单.然而在求解过程中,还需用到相似三角形的知识,不仅麻烦,有时甚至在这里“卡壳”,反而弄巧成拙!.
    从所给的选项可知△DEK的面积可以求出来,而已知条件仅告诉了正方形BEFG的边长为4(相当于告诉了正方形BEFG的面积),我们可以大胆猜测:△DEK的面积仅与正方形BEFG的面积有关,而与其它两个正方形的面积无关!于是我们应该设法让△DEK与正方形BEFG发生联系! 
               
                         图4
    联想到平行线具有“传递面积”的功能(等底等高的三角形面积相等),于是我们连接DBGEFK,如图4所示,则∠DBA=∠GEB=45°,∴DBGE.所以△GED与△GEB等高.∴SGED=SGEB.同理SGEK=SGEF.于是SDEK=SGED+SGEK=SGEB+SGEF=S正方形BEFG.这样做是不是十分简捷呢?
    这样原题就有三种解法,这三种解法都是从“割补”的角度思考问题,将原三角形的面积转化为规则图形的面积的和差,其中前两种解法又是从“补形”的角度思考问题,而第三种解法是从“分割”的角度思考问题.前两种解法通过用字母表示出有关正方形的边长,求出三角形的面积表达式,侧重于代数方法,第三种解法主要通过平行线的“传递面积”功能,将三角形的面积转化为正方形的面积,又侧重于几何方法.另外,尽管前两种方法都侧重于代数方法,但由于思考角度还是有细微差别,直接导致解答过程的繁简程度不同.
    从以上两个问题可以看出,在解决数学问题的时候,思考问题的角度非常重要!这就要求我们在平时的学习和解题过程中,要注意积累解题经验和技巧,对于不同的数学问题,要注意选准问题的视角,然后“对症下药”,尽可能使复杂的问题简单化!
     
    快乐体验:
    1.商店里把塑料凳整齐地叠放在一起,据图5中的信息,当有10张塑料凳整齐的叠放在一起时的高度是__cm.
         
    图5                                          图6
    2.如图6,矩形ABCD中,AB=3cm,AD=6cm,点EAB边上的任意一点,四边形EFGB也是矩形,且EF=2BE,则SAFC=__cm2.(提示:连结BF)
     
    答案:1.50cm  2.9 (责任编辑:admin)
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