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小小三角板 数学大舞台 山东省汶上县第二实验中学 李启锋 三角板是教师、学生很熟悉的学习用具了，在近年来的数学中考题中以它为载体出现的试题层出不穷，屡见不鲜，从选择题、填空题到中等题，再到压轴题，均有涉猎,现采撷了一些考题供大家参考。 1.（2011?遵义）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ ）  A、115° B、120° C、145° D、135° 考点：平行线的性质。 分析：由三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角相等，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．  解答：解：在Rt△ABC中，∠A=90°， ∵∠1=45°， ∴∠3=90°﹣∠1=45°， ∴∠4=180°﹣∠3=135°， ∵EF∥MN， ∴∠2=∠4=135°． 故选D． 点评：此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用． 2.（2011湖南省娄底市）如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ）  A、80 B、50 C、30 D、20 考点：平行线的性质；三角形的外角性质。 专题：计算题。 分析：由BC∥DE得内错角∠CBD=∠2，由三角形外角定理可知∠CBD=∠1+∠3，由此可求∠3． 解答：解：如图，∵BC∥DE，∴∠CBD=∠2=50°， 又∵∠CBD为△ABC的外角， ∴∠CBD=∠1+∠3， 即∠3=50°﹣30°=20°． 故选D．  点评：本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，关键是利用平行线的性质，将所求角与已知角转化到三角形中，寻找角的等量关系． 3．(2011年河南省)将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为______________．  考点：平行线的性质；三角形的外角性质。 专题：计算题。 分析：由AB∥DE得∠ABE=∠E, 由三角形外角定理可知∠1=∠ABE+∠A，由此可求∠1． 解答：∵AB∥DE，∴∠ABE=∠E=30°， 又∵∠1为△ABC的外角， ∴∠1=∠ABE+∠A， 即∠1=30°+45°=75°． 点评：本题重点考察平行线的性质、三角形的外角，关键是将所求角与已知角转化到三角形中。 4. （2011年龙岩市）一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（α=∠BAD且0°<α<180°），使两块三角板至少有一组边平行。 （1）如图①，α=______°时，BC∥DE； （2）请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空： 图②中α=______°时，______∥______；图③中α=______°时，______∥______。   考点：平行线的知识，旋转的性质。 专题：计算题 分析：（1）由旋转的性质得∠α=∠DAE-∠BAC=150 （2）如下图②∠α=∠B=600时，BC∥DA； 如下图③∠B=∠BAE，即∠α=∠BAE+∠DAE=600+450=1050 时,BC∥EA（或∠D+∠DAC=1800，即∠α=1800 -∠D -∠BAC=1050 时，DE∥AC；或∠D+∠α=1800，即∠α=1800-∠D=1350时，DE∥AB）。 点评：本题考察平行线的知识，旋转的性质。关键是找准在旋转的过程中哪个边和哪个边平行,考察学生的空间想象能力。  5．（2011年株洲市压轴题）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线  的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点 ，两直角边与该抛物线交于 、 两点，请解答以下问题：（1）若测得  （如图1），求 的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点 旋转到如图2所示位置时，过作 轴于点 ，测得 ，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点 旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．  考点：坐标系的知识、二次函数的知识，对称的性质，三角形的相似，方程的知识等等。 专题：压轴题。 解答： （1）设线段  与 轴的交点为 ，由抛物线的对称性可得为中点， ， ，∴  ，∴( ， ) 将 (，)代入抛物线得， . （2）解法一：过点 作 轴于点 ，点的横坐标为 ，∴ (1， )， ∴  . 又 ，易知 ，又 ，∴△  ∽△ ，  ∴ 设点 （ ， ）（ ），则 ， ，∴ ∴  ，即点的横坐标为 .   解法二：过点 作轴于点，点的横坐标为，∴ (1，)， ∴  ，易知，∴  ， 设点 （- ，）（），则，，∴∴ ，即点的横坐标为. 解法三：过点 作轴于点，点的横坐标为，∴ (1，)， 设 （-，）（），则 ， ， ，  ，∴  ，解得： ，即点的横坐标为. （3）解法一：设 （，）（），（ ， ）（ ），设直线 的解析式为： ， 则 ， 得， ，∴  又易知△ ∽△，∴ ，∴ ，∴ ∴  .由此可知不论 为何值，直线恒过点（ ，）解法二：设 （，）（），（，）（），直线 与轴的交点为，根据 ，可得 ，化简，得  . 又易知△ ∽△，∴，∴，∴∴  为固定值.故直线恒过其与轴的交点（,）点评：这是一道以三角板为载体的综合题，解决本题我们默认了一个事实是三角板中的∠AOB=900。 一副三角板，实际上是两个特殊三角形，以它为媒介来出的中考试题中，我们要认清这样的一些事实：它的每个角是多少度，边与边之间的数量关系，角与边之间的关系，也就是解直角三角形的知识。充分利用这些隐含的条件，再结合其他的数学知识来解决问题。 下面再给出一些练习题：   1. （黄石市2011年）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图（1），则三角板的最大边的长为（ ） A.  B.  C.  D.   2、（2011年四川绵阳）将一副常规三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为 A、75° B、95° C、105° D、120° 3. （2011年恩施自治州） 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是： A、43° B、47° C、30° D、60°   4、（2011?金华）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）  A、30° B、25° C、20° D、15° 5．（2011年山东省东营市）一副三角板，如图所示叠放在一起．则图中∠α的度数是( ) A．75° B．60° C．65° D．55°  6、（2011?宜昌）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=  ，则边BC的长为（ ）  A、30  cm B、20cmC、10 cm D、5cm7、(2011四川乐山)如图，直角三角板ABC的斜边AB=12㎝，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板  的位置后，再沿CB方向向左平移，使点 落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板平移的距离为  (A) 6㎝ (B) 4㎝ （C） （6－  ）㎝ （D）（  ）㎝8.(2011年山东省菏泽市)一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放， 则∠  等于A.30° B.45° C.60° D.75°   9. (2011年江西省中考题)一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示,∠1+∠2=___________度.   10 （2011年江西省南昌市）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，∠DAB =30°，有以下四个结论：①AF⊥BC ②△ADG≌△ACF ③O为BC的中点 ④AG︰DE=  ，其中正确结论的序号是 ______________.  11．（2011年山东省枣庄市）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 =14cm，则阴影部分的面积是________cm2.   12．(2011年内蒙古包头市)在Rt△ABC中，AB＝BC＝5，∠ABC＝90?．一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC或其延长线于点E、F，图①、②是旋转三角板所得图形的两种情况． (1)三角板绕点O旋转，△COF能否成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况(即给出△COF是等腰直角三角形时BF的长)；若不能，请说明理由． (2)三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图①或图②加以证明． (3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图③)，当AP∶AC＝1∶4时，PE和PF有怎样的数量关系？证明你发现的结论．   13．（2011年山东省威海市）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长。   练习题参考答案：1 D； 2 C； 3 B；4 B；5 75°；6 C；7 （C）；8 75°； 9 90° ； 10 ①②③④ ；11 24.5； 12 提示：（1）BF=  或BF=0；（2）OE=OF 连接OB 证明△OBE≌△OCF（3）PE∶PF＝1∶3 过点P分别作AB BC的垂线，利用相似三角形证明。 13 提示：CD=15-5 
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