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小小三角板 数学大舞台

http://www.newdu.com 2018-12-06 人民教育出版社 佚名 参加讨论

    小小三角板 数学大舞台
    山东省汶上县第二实验中学 李启锋
    三角板是教师、学生很熟悉的学习用具了,在近年来的数学中考题中以它为载体出现的试题层出不穷,屡见不鲜,从选择题、填空题到中等题,再到压轴题,均有涉猎,现采撷了一些考题供大家参考。
    1.(2011?遵义)把一块直尺与一块三角板如图放置,若∠1=45°,则∠2的度数为(  )
    
    A、115°         B、120°
      C、145°         D、135°
    考点:平行线的性质。
    分析:由三角形的内角和等于180°,即可求得∠3的度数,又由邻补角相等,求得∠4的度数,然后由两直线平行,同位角相等,即可求得∠2的度数.
    
    解答:解:在Rt△ABC中,∠A=90°,
    ∵∠1=45°,
    ∴∠3=90°﹣∠1=45°,
    ∴∠4=180°﹣∠3=135°,
    ∵EF∥MN,
    ∴∠2=∠4=135°.
    故选D.
    点评:此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质.注意两直线平行,同位角相等与数形结合思想的应用.
    2.(2011湖南省娄底市如图,将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上,∠1=30°,∠2=50°,则∠3的度数为(  )
    
    A、80            B、50
      C、30            D、20
    考点:平行线的性质;三角形的外角性质。
    专题:计算题。
    分析:由BC∥DE得内错角∠CBD=∠2,由三角形外角定理可知∠CBD=∠1+∠3,由此可求∠3.
    解答:解:如图,∵BC∥DE,∴∠CBD=∠2=50°,
    又∵∠CBD为△ABC的外角,
    ∴∠CBD=∠1+∠3,
    即∠3=50°﹣30°=20°.
    故选D.
    
    点评:本题考查了平行线的性质,三角形的外角性质,关键是利用平行线的性质,将所求角与已知角转化到三角形中,寻找角的等量关系.
    3(2011年河南省)将一副直角三角板如图放置,使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为______________.
    
    考点:平行线的性质;三角形的外角性质。
    专题:计算题。
    分析:由AB∥DE得∠ABE=∠E, 由三角形外角定理可知∠1=∠ABE+∠A,由此可求∠1.
    解答:∵AB∥DE,∴∠ABE=∠E=30°,
    又∵∠1为△ABC的外角,
    ∴∠1=∠ABE+∠A,
    即∠1=30°+45°=75°.
    点评:本题重点考察平行线的性质、三角形的外角,关键是将所求角与已知角转化到三角形中。
    4. 2011年龙岩市一副直角三角板叠放如图所示,现将含45°角的三角板ADE固定不动,把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α(α=∠BAD且0°<α<180°),使两块三角板至少有一组边平行。
    (1)如图①,α=______°时,BC∥DE;
    (2)请你分别在图②、图③的指定框内,各画一种符合要求的图形,标出α,并完成各项填空:
    图②中α=______°时,______∥______;图③中α=______°时,______∥______。
    
    
    考点:平行线的知识,旋转的性质。
    专题:计算题
    分析:(1)由旋转的性质得∠α=∠DAE-∠BAC=150
    (2)如下图②∠α=∠B=600时,BC∥DA;  如下图③∠B=∠BAE,即∠α=∠BAE+∠DAE=600+450=1050 时,BC∥EA(或∠D+∠DAC=1800,即∠α=1800 -∠D -∠BAC=1050  时,DE∥AC;或∠D+∠α=1800,即∠α=1800-∠D=1350时,DE∥AB)。
    点评:本题考察平行线的知识,旋转的性质。关键是找准在旋转的过程中哪个边和哪个边平行,考察学生的空间想象能力。
    
    52011年株洲市压轴题孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点,两直角边与该抛物线交于两点,请解答以下问题:
    (1)若测得(如图1),求的值;
    (2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时,过轴于点,测得,写出此时点的坐标,并求点横坐标
    (3)对该抛物线,孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现,交点的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标.
    
    考点:坐标系的知识、二次函数的知识,对称的性质,三角形的相似,方程的知识等等。
    专题:压轴题。
    解答:
    (1设线段轴的交点为,由抛物线的对称性可得中点,
     
    ∴,∴()    
    将()代入抛物线得,.
    (2解法一:过点轴于点
    的横坐标为,∴ (1,),
    ∴.  又 ,易知,又
    ∴△∽△  ∴ 
    设点)(),则,∴
    ∴,即点的横坐标为.        
    
    解法二:过点轴于点
    的横坐标为,∴ (1,),
    ∴    
     ,易知
    ∴
    设点(-)(),则,∴
    ∴,即点的横坐标为.
    解法三:过点轴于点
    的横坐标为,∴ (1,),
    设(-)(),则
    
     
    ∴
    解得:,即点的横坐标为.
    (3解法一:)(),)(),
    设直线的解析式为:,     则
    得,
    ∴           
    又易知△∽△,∴,∴,∴
    ∴.由此可知不论为何值,直线恒过点(
    解法二:)(),)(),
    直线轴的交点为,根据,可得
    
    化简,得.
    又易知△∽△,∴,∴,∴
    ∴为固定值.故直线恒过其与轴的交点,
    点评:这是一道以三角板为载体的综合题,解决本题我们默认了一个事实是三角板中的∠AOB=900
    一副三角板,实际上是两个特殊三角形,以它为媒介来出的中考试题中,我们要认清这样的一些事实:它的每个角是多少度,边与边之间的数量关系,角与边之间的关系,也就是解直角三角形的知识。充分利用这些隐含的条件,再结合其他的数学知识来解决问题。
    下面再给出一些练习题:
    
    1. (黄石市2011年)将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,如图(1),则三角板的最大边的长为(   )
    A.       B.     C.      D.  
    
    2、(2011年四川绵阳)将一副常规三角尺按如图方式放置,则图中∠AOB的度数为
    A、75°           B、95°        
    C、105°            D、120°
    3. (2011年恩施自治州) 将一个直角三角板和一把直尺如图放置,如果∠α=43°,则∠β的度数是:
    A、43°      B、47°        C、30°      D、60°
    
    4、(2011?金华)如图,把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°,那么∠2的度数是(   )
    
      A、30°          B、25°
      C、20°          D、15°
    5.(2011年山东省东营市)一副三角板,如图所示叠放在一起.则图中∠α的度数是(   )
     A.75°    B.60°
     C.65°    D.55°
    
    6、(2011?宜昌)如图是教学用直角三角板,边AC=30cm,∠C=90°,tan∠BAC=,则边BC的长为(  )
    
    A、30cm         B、20cm
    C、10cm         D、5cm
    7、(2011四川乐山)如图,直角三角板ABC的斜边AB=12㎝,∠A=30°,将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板的位置后,再沿CB方向向左平移,使点落在原三角板ABC的斜边AB上,则三角板平移的距离为
    
    (A) 6㎝       (B)   4㎝   
    (C) (6- )㎝ 
    (D)()㎝
    8.(2011年山东省菏泽市)一次数学活动课上,小聪将一副三角板按图中方式叠放,
    则∠等于
    A.30°       B.45°        C.60°                   D.75°
    
    9. (2011年江西省中考题)一块直角三角板放在两平行直线上,如图所示,∠1+∠2=___________度.
     
    10 2011年江西省南昌市)如图所示,两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起,∠DAB =30°,有以下四个结论:①AFBC  ②△ADG≌△ACF  ③OBC的中点 ④AGDE=,其中正确结论的序号是   ______________.
    
    11.(2011年山东省枣庄市)将一副三角尺如图所示叠放在一起,若=14cm,则阴影部分的面积是________cm2
    
    12(2011年内蒙古包头市)在Rt△ABC中,ABBC=5,∠ABC=90?.一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处,将三角板绕点O旋转,三角板的两直角边分别交ABBC或其延长线于点EF,图①、②是旋转三角板所得图形的两种情况.
    (1)三角板绕点O旋转,△COF能否成为等腰直角三角形?若能,指出所有情况(即给出△COF是等腰直角三角形时BF的长);若不能,请说明理由.
    (2)三角板绕点O旋转,线段OEOF之间有什么数量关系?用图①或图②加以证明.
    (3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图③),当APAC=1∶4时,PEPF有怎样的数量关系?证明你发现的结论.
    
    13.(2011年山东省威海市)一副直角三角板如图放置,点CFD的延长线上,ABCF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长。
                  
    练习题参考答案:1 D; 2 C; 3 B;4 B;5  75°;6 C;7 (C);8  75°; 9  90° ; 10  ①②③④ ;11  24.5;
    12 提示:(1)BF=或BF=0;(2)OE=OF   连接OB 证明△OBE≌△OCF
    (3)PEPF=1∶3  过点P分别作AB BC的垂线,利用相似三角形证明。
    13 提示:CD=15-5 (责任编辑:admin)
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