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阅读解答题专题复习 山东沂源县徐家庄中学 刘婷婷 左效平 一、考点预测 阅读理解题是近年来中考中的一类新题型.这种题型的特点是：题型灵活、形式多样，内容丰富、打破常规，注重自学，强化学以致用的数学思想。即培养和锻炼学生的阅读理解能力，又能提高学生的数学意识和数学综合应用能力.考题还特别注重学生的数学思维能力和创新意识的培养，是中考的热点题型之一.在以后的中考中会有进一步提升的趋势。 二、解题策略 阅读理解题一般由两部分组成:一是阅读材料;二是考查内容.提供的阅读材料主要包括:一个新的数学概念的形成和应用过程,或一个新数学公式的推导与应用,或提供新闻背景材料等. 这类考题能考查解题者自学能力和阅读理解能力，能考查解题者接收、加工和利用信息的能力。 这类题目的结构一般为：给出一段阅读材料，学生通过阅读，将材料所给的信息加以搜集整理，在此基础上，按照题目的要求进行推理解答。 在解阅读理解题时，首先做到认真阅读题目中介绍的新知识，包括定义、公式、表示方法及如何计算等，并且正确理解引进的新知识，读懂范例的作用，然后结合以前所学知识，细心解答即可。 三、题型剖析 3.1新定义概念型阅读理解题 3.1.1．定义的对象是线段 例1、（2009年益阳市）阅读材料： 如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：  ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题： 如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B. （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及  ；（3）是否存在一点P，使S△PAB=  S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.分析： （1）由点C(1,4)是抛物线顶点坐标,所以，同学们在选择所设函数的解析式时，一定要选择顶点式的设法，即设y=a（x-1）2+4.然后，将点AA(3,0)的坐标代入所设的解析式中，确定出a的数值，就可以确定二次函数的解析式了. (2)所谓的铅直高度，实际上就是，横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值. 为了保证这个差值是正数，同学们可以用在铅直线上靠上面一点的点的纵坐标减去靠下一点的点的纵坐标.因此，求出点D的坐标，是求铅直高度CD的关键. 所谓的水平宽，实际上就是，两个点的横坐标差的绝对值. 为了保证这个差值是正数，同学们可以用这两个靠右一点的点的横坐标减去靠左一点的点的横坐标.因此，求出点A、B的坐标，是求水平宽的关键. （3）在解这类存在性问题时，通常先假设所要的点是存在的，然后利用给出的条件，认真加以推理求解. 解：(1)设抛物线的解析式为：  ,把A（3,0）代入解析式,得：0=4a+4，解得：a=-1， 所以  .设直线AB的解析式为：  ,令x=0，得  =3，所以，B点的坐标为 ， 把A(3，0)、B（0，3）分别代入 中，得  ，解得：  ，所以， .(2)因为C点坐标为(１,4) 所以,当x＝１时，y1＝4，y2＝2 所以,CD＝4-2＝2, 因为，A(3，0)的横坐标是3，B（0，3）的横坐标是0，且点A在点B的右边， 所以，三角形CAB的水平宽AB=3-0=3, 所以，  (平方单位).(3)假设存在符合条件的点P，且设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h， 则  由S△PAB = S△CAB，得：  ，化简得：  ，解得，  ，将代入中，解得：= ，所以，存在符合题目要求的点P，且P点坐标为  .3.1.2定义的对象是函数 例2（2009年济宁市）阅读下面的材料： 在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数  的图象为直线 ，一次函数 的图象为直线 ，若 ，且 ，我们就称直线与直线互相平行. 解答下面的问题： （1）求过点  且与已知直线 平行的直线 的函数表达式,并图3所示的坐标系中画出直线的图象；（2）设直线 分别与 轴、 轴交于点 、 ，如果直线 ： 与直线平行且交轴于点 ，求出△ 的面积 关于 的函数表达式. 分析： （1）根据直线函数平行的定义知道，所以函数的k值一定是-2，所以，同学们只需设出所求直线的解析式是y=-2x+b，后把直线上经过的点的坐标代入所设的解析式，求得b的值，就可以确定出直线的解析式了. （2）因为，点B是在x轴上的，且点C也在x轴上，但是，点B 与点C的位置关系是没有确定的，所以，同学们在解答时，要分点C在点B的左侧和右侧两种情况来求解. 解：（1）设直线  的函数表达式为：y＝k x＋b.因为，直线 与直线y＝—2x—1平行，根据直线函数平行的条件，得： k＝—2， 所以，直线的表达式为：y＝—2x+b. 因为，直线y＝—2x+b过点（1，4）， 所以， —2＋b ＝4， 解得：b ＝6. 所以， 直线 的函数表达式为：y＝—2x＋6. 因为，两点确定一条直线， 所以，令x=0，得y=6，即直线与y轴的交点坐标是（0，6）， 令y=0，得x=3，即直线与x轴的交点坐标是（3，0）， 在坐标系中描出这两点，过这两点作直线，就是所函数的图像. 直线 的图象如图4. (2) 因为，直线 分别与轴、轴交于点、，所以，点 、的坐标分别为（0，6）、（3，0）.因为， ∥,所以，直线为y＝—2x+t.令y=0，得x=  ，所以，C点的坐标为 .因为， t＞0,所以，  .所以，C点在x轴的正半轴上. 当C点在B点的左侧,即0＜t＜6时，  ;当C点在B点的右侧，即t＞6时，  .所以，△ 的面积关于的函数表达式为：S=  .3.1.3、定义的对象是一种数 例3 （2009,枣庄）a是不为1的有理数，我们把  称为a的差倒数．如：2的差倒数是 ， 的差倒数是 ．已知 ， 是 的差倒数， 是的差倒数， 是的差倒数，…，依此类推，则 ．分析：根据差倒数的定义，逐一去求一求，看看有什么规律可循。 a2=   ，a3= 4，a4=  - ，a5= ，仔细观察结果的规律，一共有三种不同的结果，分别是- ，，4，三种结果是循环出现的，且遵循如下的变化规律：字母a的右下角码被3除，余数是1的结果是- ，字母a的右下角码被3除，余数是2的结果是 ，字母a的右下角码被3整除的结果是4， 因为，2009除以3的余数是2，所以， .解： .点评：在解答这类问题时，同学们一定不要着急，应该静下心来，认真去计算几个结果，直到发现规律为止.其次，要注意处理好角码数字与循环结果的关系，这是解题的关键. 3.2新定义方法型阅读理解题 3.2.1定义求图形面积的方法 例4 (2009年咸宁市)问题背景：在  中， 、 、 三边的长分别为 、 、 ，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图5-1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将 的面积直接填写在横线上．__________________思维拓展： （2）我们把上述求 面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为 、 、 （ ），请利用图5-2的正方形网格（每个小正方形的边长为 ）画出相应的，并求出它的面积．探索创新： （3）若 三边的长分别为 、 、 （ ，且 ），试运用构图法求出这三角形的面积． 分析：（1）仔细观察正方形网格，不难发现三角形ABC的面积等于边长为3的正方形的面积，减去三个直角三角形的面积.正方形的面积是9， 第一个直角三角形的两直角边的长分别是1和2，所以，这个三角形的面积是：  ×1×2=1；第二个直角三角形的两直角边的长分别是1和3，所以，这个三角形的面积是： ×1×3= ；第三个直角三角形的两直角边的长分别是3和2，所以，这个三角形的面积是： ×3×2=3；所以，三角形ABC的面积为：9-1-3- = .（2）在正方形网格中,根据构图法的特点，正确画出一种符合题意的图形来是解题的关键。 （3）根据构图法求面积的方法去构图，值得注意的是，前面的都是在正方形网格上进行的，此题的解法要在长方形的网格上，并且规定小长方形的长为m，宽为n，这样就可以运用构图的方法求解了. 解：（1） （2）此题的答案是不唯一。下面给出两种构图方法，如图5-3所示，和图5-4所示，只给出图5-3的解答。  长为4a，宽为2a的长方形的面积为：4a×2a=8a2； 第一个直角三角形的两直角边的长分别是a和2a， 所以，这个三角形的面积是： ×a×2a=a2；第二个直角三角形的两直角边的长分别是2a 和2a， 所以，这个三角形的面积是： ×2a×2a=2a2；第三个直角三角形的两直角边的长分别是a和4a， 所以，这个三角形的面积是： ×a×4a=2a2；所以，三角形ABC的面积为：8a2- a2-2a2-2a2=3a2. （3）此题的答案是不唯一。下面给出一种构图方法， 如图5-5所示，长为3m，宽为4n的长方形的面积为：3m×4n=12mn； 第一个直角三角形的两直角边的长分别是2m和2n，  所以，这个三角形的面积是：×2m×2n =2mn；第二个直角三角形的两直角边的长分别是3m 和2n， 所以，这个三角形的面积是： ×3m×2n =3mn；第三个直角三角形的两直角边的长分别是m和4n， 所以，这个三角形的面积是： ×m×4n=2mn；所以，三角形ABC的面积为：12mn –2mn-2mn-3mn=5mn. 3.2.2定义新的化简方法 例5、（湖南邵阳）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如  一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； （Ⅰ） （Ⅱ） ． （Ⅲ）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．  还可以用以下方法化简： ． （Ⅳ）（1）请用不同的方法化简  ．①参照（Ⅲ）式得 =___________________________________________．②参照（Ⅳ）式得 =___________________________________________．（2）化简：  ．分析：（1）①参照（Ⅲ）来化简，而（Ⅲ）这种化简方法的最大特点是：分子、分母所乘的代数式恰好使得分母符合了平方差公式. ②参照（Ⅳ）来化简，而（Ⅳ）这种化简方法的最大特点是：分子上的整数恰好等于分母上被开放数与后面所加整数的差，然后利用公式a=  ，把分子表示成平方差公式的形式，后进行因式分解，通过约分的方式，实现把问题简化的目标.（2）抓住关键项，剖析关键项的特点，后逐项去对照化简计算是本题的最大特点. 在这里关键项是  ，根据方法（Ⅳ）知道， = ，所以， 当n=1时，   ；当n=2时，   ；当n=3时，   ；当n=n时，  ；所以，在求和时，分子上的数相错位抵消，第一个分子余下-1，最后一个分子余下的是  .解：（1）  ， ；（2）因为， =，所以，当n=1时， ；当n=2时， ；当n=3时， ；当n=n时， ；所以， +++………+=  + + ++………+ =  .3.3先学后用型阅读题 3.3.1学求数的和的方法，后用 例6 (2009年鄂州)为了求  的值，可令S＝ ，则2S＝ ，因此2S-S＝ ，所以 ＝仿照以上推理计算出 的值是（ ）A.  B. C. D. 分析： 本题向同学们介绍了一种求幂和的方法，同学们只要看懂方法的要领，就可以模仿应用解题。这主要是锻炼同学们的自学能力。 特点是：幂底数是几，就在所设等式的两边乘以几 设S＝  ，则5S＝ ，因此5S-S＝ ，所以，S= .解：选D. 3.3.2学习新的解题方法，后用 例7 阅读材料，解答问题． 例 用图象法解一元二次不等式：  ．解：设  ，则是的二次函数． 抛物线开口向上．又  当 时， ，解得 ． 由此得抛物线的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当  或 时， ．的解集是：或．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：  的解集是____________；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：  ．（大致图象画在答题卡上） 分析：（1）仔细观察函数的图像，当-1＜x＜3时，二次函数y=x2-2x-3的函数值是小于0的，根据上面所提供的解题方法，我们就很容易求得一元二次不等式： 的解集即-1＜x＜3.（2）、在解答时，主要是迁移题中所介绍的解题方法，因此，读懂题目着急哦那个新法是灵活解题的关键. 解：（1）  ．（2）解：设  ，则是的二次函数． 抛物线开口向上．又 当时， ，解得 ． 4分由此得抛物线的大致图象如图所示．· 6分观察函数图象可知：当 或 时，． 的解集是：或．四、拓展引申型阅读题 例8(2009年河北)如图7-1至图7-5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c． （1）如图7-1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB = c时，⊙O恰好自转1周． （2）如图7-2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2 = n°，⊙O在点B处自转  周．实践应用： （1）在阅读理解的（1）中，若AB = 2c，则⊙O自转 周； 若AB = ，则⊙O自转 周．在阅读理解的（2）中，若∠ABC = 120°，则⊙O在点B处自转 周；若∠ABC = 60°，则⊙O在点B处自转 周．（2）如图7-3，∠ABC=90°，AB=BC=  c．⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A-B-C滚动到⊙O4的位置，⊙O自转 周．拓展联想： （1）如图7-4，△ABC的周长为 ，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由．（2）如图7-5，多边形的周长为 ，点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的周数． 分析：图7-1向同学们介绍了一种在直线上作无滑动滚动运动时，圆自转周数的求解方法。 其实质是：自转周数=  .图7-2向同学们介绍了一种在∠ABC外部沿A-B-C滚动无滑动滚动运动时，圆自转周数的求解方法。其实质是：自转周数=  .所以，在应用时，同学们要正确区分运动的类型，是单一型还是二者混合型，确定好类型后，分别利用上面的求解方法去分头求解，后求和即可。 图7-3中，圆的运动方式为：直线AB上的滚动，路线长为 c，后在∠ABC=90°的补角上滚动，最后在直线BC上的滚动，路线长为c，所以，自转的周数= 。图7-4中，圆作的直线滚动路线长为 ，所以，自转了 周；因为，三角形的外角和为360°，所以，圆又自转了  =1周，二者的和就圆整个运动中所转的周数. 图7-5中的运动，多边形的周长为 ，外角和也是360°，这是解题的关键.解：实践应用 （1）2；  ． ； ．（2）  ．拓展联想 （1）因为，△ABC的周长为 ，所以，⊙O在三边上自转了周． 又因为，三角形的外角和是360°，所以，在三个顶点处，⊙O自转了  （周）． 所以，⊙O共自转了（ +1）周． （2） +1．五、巩固提高 1.读一读：式子“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示为  ，这里“ ”是求和符号.例如：“1＋3＋5＋7＋9＋……＋99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为 ；又如“13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103”可表示为 .同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：①2＋4＋6＋8＋10＋……＋100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可 表示为 ； ②计算：  ＝ （填写最后的计算结果）.2.先阅读下列材料，再解答后面的问题 材料：一般地，n个相同的因数 相乘： 。如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为 。一般地，若 ，则n叫做以为底b的对数，记为 ，则4叫做以3为底81的对数，记为 .问题：（1）计算以下各对数的值  （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？  之间又满足怎样的关系式？ （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？  根据幂的运算法则：  以及对数的含义证明上述结论.3.已知a、b、c为  的三边，且满足 ，试判断的形状.解：   问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ； （2） 错误的原因为： ； （3）本题正确的结论为： . (06浙江临安） 4.下面是数学课堂的一个学习片断．阅读后，请回答下面的问题： 学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：“其余两角是30°和120°”；王华同学说 “其余两角是75°和75°”．还有一些同学也提出了不同的看法． （1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？ （2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示） 5.你能比较两个数20012002和20022001的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nn＋1和(n＋1)n的大小(n≥1的整数)．然后，从分析n＝1，n＝2，n＝3，……，这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论． (1)通过计算，比较下列①～③各组两个数的大小(在横线上填“＞”“＜”或“＝”) ①12______21； ②23______32； ③34______43； ④45＞54； ⑤56＞65； ⑥67＞76； ⑦78＞87；… (2)从第(1)小题的结果经过归纳，可以猜想出nn＋1和(n＋1)n的大小关系是：_________． (3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到20012002______20022001(填“＞”“＜”或“＝”)． 6.阅读材料，解答问题． 阅读材料： 当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化． 例如：由抛物线y＝x2-2mx＋m2＋2m-1，① 有y＝(x-m)2＋2m-1，② ∴ 抛物线的顶点坐标为(m，2m-1)．  当m的值变化时，x、y的值也随之变化．因而y值也随x值的变化而变化． 将③代入④，得y＝2x-1．⑤ 可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式：y＝2x-1． (1)在上述过程中，由①到②所用的数学方法是______，其中运用了______公式．由③、④得到⑤所用的数学方法是______； (2)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y＝x2-2mx＋2m2-3m＋1顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式． 7.我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数  的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所图象的函数表达式是 .类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换： （1）将  的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ； （2）函数  的图象可由的图象向 平移 个单位得到； 的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？（3）一般地，函数  （ ，且 ）的图象可由哪个反比例函数的图象经过和怎样的变换得到？8、阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：  经过研究，这个问题的一般性结论是 ，期中 是正整数。现在我们来研究一个类似的问题： 观察下列三个特殊的等式：   将这三个等式的两边相加，可以得到  。读完这段材料，请你思考后回答： （1）  ＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）  ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）  ＿＿＿＿＿＿＿＿＿.9.阅读以下短文，然后解决下列问题： 如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”. 显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 . (1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”； (2) 如图8②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图8②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小； (3) 若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图8③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.   六、参考答案： 1.（1）  ； （2）50。2.（1）  ，  ， （2）4×16=64 ，  +  =  （3）  +  =  证明：设 =b1 , =b2则  ， ∴  ∴b1+b2= 即 + = 3.解：(1) 上述解题过程，从C步开始出现错误； (2) 错误的原因为：没有考虑  ，就在等式的两边同除以了这个式子； (3) 当本，得：a=b，所以△ABC是等腰三角形；所以本题正确的结论为：△ABC是直角三角形或等腰三角形。4.解：（1）答：上述两同学回答的均不全面，应该是： 其余两角的大小是75°和75°或30°和120°． 理由如下： （i）当  是顶角时，设底角是 ． ，  ．∴其余两角是75°和75°． （ii）当∠A是底角时，设顶角是β，  ，  ．∴其余两角分别是0°和120°． （2）感受答有：“分类讨论”，“考虑问题要全面”等能体现分类讨论思想的语句就可以。 5.解； 1.①12___＜ ___21； ②23___＜___32； ③34__＞____43； 2.当n≤2时 nn＋1＜(n＋1)n ;当n＞2时,nn＋1＞(n＋1)n 3.20012002___＞___20022001 6.(1)配方法、完全平方法、消元法 (2)y＝x2-2mx＋2m2-3m＋1＝x2-2mx＋m2＋m2-3m＋1＝(x-m)2＋m2-3m＋1 ∴ 该抛物线顶点坐标为(m，m2-3m＋1)   将①代入②，得y＝x2-3x＋1． ∴ 所给抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x的关系式为y＝x2-3x＋1 7.(1)y=  ;y= ;（2）、上，1； y=  可转化为y= +1它的图象可由反比例函数y= 的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到。（3）函数y=  可转化为y= .当a>0时，y= 的图象可由反比例函数y= 的图象左平移a个单位，再向上平移一个单位得到。 当a<0时, y= 的图象可由反比例函数y=的图象向左平移-a个单位，再向上平移一个单位得到。8.（1）343400（或  ）；（2）  ；（3） 。9.如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边 重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”. (2) 此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF. 易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴ △ABC的“友好矩形”的面积相等. (3) 此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小 . 证明如下： 易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则  L1= +2a，L2= +2b，L3= +2c .∴ L1- L2=( +2a)-(+2b)=2(a-b) ，而 ab>S，a>b， ∴ L1- L2>0，即L1> L2 . 同理可得，L2> L3 . ∴ L3最小，即矩形ABHK的周长最小. (责任编辑：admin) |