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中考新概念四边形赏析

http://www.newdu.com 2018-12-06 人民教育出版社 佚名 参加讨论

    中考新概念四边形赏析
    湖北省郧县第二中学 杨育颖
    新概念问题是近年来中考试题中,涌现出的一种新型试题,它既能考查学生适应新问题、接受新知识、认识新事物的能力,又能考查学生的自学能力,信息的收集、迁移和应用能力。 该试题新颖别致,颇具魅力,已成为中考试题中的一朵奇葩,现就四边形中新概念题举两例供大家赏析。
    
一、中点四边形
    例2、(内江市中考题)如图2,四边形ABCD中,E、F、G、H分别为各边的中点,顺次连接E、F、G、H,把四边形EFGH称为中点四边形。连接AC、BD,容易证明:中点四边形EFGH一定是平行四边形。
    
    (1)如果改变原四边形ABCD的形状,那么中点四边形EFGH的形状也随之改变,通过探索可以发现:当四边形ABCD的对角线满足AC = BD时,四边形EFGH 为菱形;
    当四边形ABCD的对角线满足______时,四边形EFGH为矩形;
    当四边形ABCD的对角线满足______时,四边形EFGH为正方形;
    (2)探索三角形AEH,三角形CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系,请写出你发现的结论并加以证明;
    (3)如果四边形ABCD面积为2,那么中点四边形EFGH的面积是多少? 
    分析:相对来讲,中点四边形是我们比较熟悉的一个概念。本题中,①当对角线相等时,中点四边形为菱形;②当对角线垂直时,中点四边形为矩形;③当对角线既相等又垂直时,中点四边形为正方形。探索三角形与四边形之间的面积关系,可利用相似三角形的面积比等于相似比的平方这一定理。
    解:(1)AC⊥BD,AC⊥BD且AC=BD。
    (2)S△AEH+S△CFG=S四边形ABCD。
    证明:在△ABD中,EH=BD,所以△AEH~△ABD,所以
    即,同理可证:,所以
    (3)由(2)的结论可知:
    二、等对角线四边形
    例2、(北京市中考题) 我们给出如下定义:若一个四边形的两条对角线相等,则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题:
    (1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称;
    (2)探究:当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60O时,这对60O角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系,并证明你的结论。
    分析:本题以定义的形式,提出了新的数学概念“等对角线四边形”这一新知识点,要理解并结合图形后才能运用,形成一道考查同学们的阅读理解能力以及作图、应用、证明等能力的综合题。
    解:(1)等腰梯形、矩形等;
    (2)结论:等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时,这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长。
    已知:四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC = BD,且∠AOD = 60°,
    求证:BC + AD≥AC。
    证明:过点D作DF∥AC,在DF上截取DE,使DE = AC,连接CE,BE,
    故∠EDO = 60°,四边形ACED是平行四边形,所以△BDE是等边三角形,CE = AD,DE = BE = AC。
    ①当BC与CE不在同一条直线上时(如图1),在△BCE中,
    有BC + CE>BE, ∴BC+AD>AC。
    ②当BC与CE在同一条直线上时(如图2),
    则BC + CE = BE, ∴BC + AD = AC。
    综合①,②,得BC + AD≥AC。即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时,这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长。
    
    
     
     
     
     
     
       
    三、相似梯形
    例3(台州中考题)善于学习的小敏查资料知道:对应角相等,对应边成比例的两个梯形,叫做相似梯形。他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”,提出如下两个问题,你能帮助解决吗?
    问题一  平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似?
    (1)从特殊情形入手探究。假设梯形ABCD中, ADBCAB=6,BC=8,CD=4,
    AD=2,MN是中位线(如图2①)。根据相似梯形的定义,请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似?
     (2)一般结论:平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形______________               (填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”。不要求证明) 。
    问题二  平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似?
    (1)从特殊平行线入手探究。梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形______________               (填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”。不要求证明)。
    (2)从特殊梯形入手探究。同上假设,梯形ABCD中,ADBCAB=6,BC=8,CD=4,AD=2,你能找到与梯形底边平行的直线PQ(点PQ在梯形的两腰上,如图2②), 使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗? 请根据相似梯形的定义说明理由。
     
    (3)一般结论:对于任意梯形(如图2③),一定        (填“存在”或“不存在”)
    平行于梯形底边的直线PQ,使截得的两个小梯形相似。
    若存在,则确定这条平行线位置的条件是=       
    (不妨设AD= aBC= bAB=cCD= d。不要求证明 ) 。
    解:问题一(1)因为MN是中位线,所以MN=,显然对应边不成比例,所以梯形AMND与梯形ABCD不相似。
    (2)平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形不相似。
    问题二(1)因为MN是中位线,显然两梯形对应边不成比例,所以梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形不相似。
    (2)如果梯形APQD与梯形PBCQ相似,则,即,解得PQ=4,此时,又AB=6,所以AP=2,所以当AP=2,且PQBC时,,又两梯形对应角相等,所以梯形APQD与梯形PBCQ相似。
    (3)对于任意梯形,一定存在平行于梯形底边的直线PQ,使截得的两个小梯形相似。
    此时,,所以PQ=,故
    通过以上几例可知,解答这类问题的关键是在阅读、理解的基础上,由题中提供的信息,联系所学知识,运用联想类比、模仿迁移的方法实现信息的迁移,从而掌握符合问题的条件及其性质的运用。 (责任编辑:admin)
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