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一元二次方程考点连连看 广东省高州市分界中学 李 国 一元二次方程是初中数学重要的内容，对一元二次方程的考查，新课标降低了计算上的难度，但增加了开放性、增强了灵活性，能够较好地考查同学们在基本知识、基本技能和基本解题思路方面的掌握情况.下面就其常见的如下考点，举例剖析. 一、一元二次方程的概念 知识链接：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 例1：下列关于x的方程：①  ② ③ ④ 。其中是一元二次方程的个数是（ ）A、1； B、2 ； C、3 ； D、4； 【分析】要判断一个方程是一元二次方程必须满足三个条件：是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2。三个条件缺一不可。而在解答过程中，忽视了任何一个条件都会导致错解。对于方程①，因为没有  这个条件，所以不一定是一元二次方程；方程②不是整式方程；④不是方程，是代数式；只有③是一元二次方程。选A项。二、一元二次方程的求解 知识链接：解一元二次方程是本章的重点．其基本解法有四种：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 例2．方程  的根是（ ）Ａ．  Ｂ． Ｃ．或 Ｄ． 【分析】本题旨在考查运用因式分解法。 解：2 x  －5=0, (2 x -5)=0,解得或，选Ｃ．【点评】如果方程两边同除以相同因式 ，忽视了因式 的情况，不属于同解变形，违背了等式的性质，造成丢根．同学们要注意避免这类错误。三、利用方程根的定义，巧求值。 （一）、知识链接：若  是方程 的根，则 ．例3.(2010年安徽省)若n（  ）是关于x的方程 的根，求m+n的值【分析】已知方程的根为n，则x＝n满足方程.将x=n代入方程即可得到关于m+n的关系式 解：由一元二次方程根的定义，得   即  （二）、知识链接：若  ，则是方程 的根．例4：设  是相异的两个实数，且满足 ，求 的值【分析】由于a、b满足的两个关系式结构相同，联想一元二次方程根的定义知：a、b是一元二次方程的两个不相等的实数根，即求 的值，故可用根与系数的关系求解。解：∵ ，∴可看作一元二次方程 的两个实数根，∴ ，∴原式 ．四、利用根的判别式Δ=  解题知识链接：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式为△＝b2－4ac，其意义在于不解方程可以直接根据△判别根的情况，①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<O时，方程无实数根．还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围． 例5.（2010年广东省广州市）已知关于x的一元二次方程  有两个相等的实数根，求 的值。【分析】若一元二次方程有两个实数根，则Δ＝  ，由此列得出a与b的等量关系再将它代入已知代数式中从而求出值解：∵ 有两个相等的实数根，∴Δ＝ ，即 ．∵  ∵  ，∴ 【点评】这道题主要考查学生对一元二次方程根的判别式的应用，以及代数式化简计算能力。 五、利用根与系数的关系解题 知识链接：已知  是一元二次方程程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则有 ， 例6.（2010广东省茂名市）已知关于  的一元二次方程 （ 为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设  ， 为方程的两个实数根，且 ，试求出方程的两个实数根和的值． 【分析】要证明方程有两个不相等的实数根，只需证明△=b2－4ac大于0，根据提示可以由一元二次方程中根与系数的关系求出相应的方程的两个实数根和 的值解：（1）  ，因此方程有两个不相等的实数根． （2）  ，又  ，解方程组： 解得： 将  代入，得： ，解得： 。【点评】一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程，判别一元二次方程根的情况；②已知一元二次方程根的情况，确定某些字母的值或范围；③进行有关的证明．如果一元二次方程  有两根（△≥0）为x1、x2，则x1+x2=－ ，x1·x2= ．应用 ①已知一根，求另一根及求知系数；②不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；③已知两数，求以这两数为根的方程；④ 已知两数的和与积，求这两个数 ⑤确定根的符号 六、“降次思想”的应用 知识链接：利用“降次思想”解答问题，是中考命题创新之一。 例7.(2010年安徽省芜湖市)已知x1、x2为方程x2＋3x＋1＝0的两实根，求x13＋8x2＋20的值【分析】先根据方程的定义把x1 代入方程得到有关x1 2 的等式，等式两边都乘于x1得到有关x13 的等式，把它代入x13＋8x2＋20化简，再利用两根和可以计算出结果是－1。 解：已知x1、x2为方程x2＋3x＋1＝0的两实根，x12=－3 x1－1，x13=－3x12－x1=－3（－3 x1－1）－x1＝8 x1＋3，根据根与系数的关系得 =－3 ∴x13＋8x2＋20＝8（x1＋x2）＋23＝－1【点评】代入法是解决本题的亮点，也是我们常用的方法，它在解方程中起到消元、降次的作用. 七、一元二次方程的应用 知识链接：列一元二次方程求解应用题是中考命题热点之一 例8. (2010年山东聊城)2009年我市实现国民生产总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现，并且2011年全市国民生产总值要达到1726亿元． （1）求全市国民生产总值的年平均增第率（精确到1%） （2）求2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？（精确到1亿元） 解：（1）设全市国民生产总值的年平均增长率为 ，根据题意，得：  ∴  ，∴ ，∴ ， （不合题意，舍去）．答：全市国民生产总值的年平均增长率约为10%． (2) 1376(1+10%)+1726+1726(1+10%)=1513.6+1726+1898.6≈5138(亿) 答：2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值约为5138亿元 【点评】求解增长率问题的关键是正确理解增长率的含义．一般地，如果某种量原来是  ，每次以相同的增长率（或减少率）增长（或减少），经过 次后的量便是 （或 ）．
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