中考网-中考真题答案、学习方法、解题技巧、知识点、学习计划、复习资料!

中考网-中考真题答案下载-中考试题库-中考成绩查询-知识点学习方法与技巧补课解题技巧学习计划表总结-中考查分网-中考网-中考资源网-中学学科网

当前位置: 首页 > 中考数学 > 综合辅导 >

学联想 找证法 助复习

http://www.newdu.com 2018-12-06 人民教育出版社 佚名 参加讨论

    学联想 找证法 助复习
    湖北省黄石市下陆中学 周国强 宋毓彬
    证明几何题的苦恼莫过于思路不清,现以课本中的一道习题为例,从多角度进行思维得到几种巧妙证法,供忙于中考复习的同学参考。
    已知:⊙O和⊙O相交于点C和D ,OO的延长线和⊙O相交于点A,AC,AD分别和⊙O相交于点E,F。求证:CE=DF。(人教版几何第三册PB组第1题)
    一、考虑到线段的和差关系
    证法1:连CD(如图1),则CD⊥O且CP=DP(连心线垂直平分公共弦)
    ∴AC=AD(1)(线段中垂线上的点到线段两端的距离相等)
    由切割线定理的推论知,AC×AE=AD×AF,
    
    ∴AE=AF(2), (2)-(1)得:CE=DF。
    注:遇两圆相交,常连公共弦
    二、考虑到同圆中等弧对等弦
    证法2:如图1,由证法1,知 AC=AD,
    ∴ ∠ACD=∠ADC,
    从而∠ECD=∠FDC。
    ∴(同圆中相等的圆周角所对的弧相等) 
    ∴ ,即
    
    故CE=DF。(同圆中等弧对等弦)
    注:同圆中,利用弧相等来证明弦相等是常用的方法之
    三、  考虑到同圆中平行弦所夹的同名弧相等
    证法3:连CD,EF(如图2)。
    由证法2知∠ACD=∠ADC,
    ∵∠ACD=∠F,∠ADC=∠E,(圆内接四边形的对角相等)
    ∴∠E=∠ACD,
    ∴CD∥EF,
    ∴,(同圆中平行弦所夹的弧相等)
    故CE=DF。
    注:同名弧:即优弧与优弧,劣弧与劣弧。
    四、考虑到同圆中相等的弦心距对应的弦相等
    证法4:连CD,作OG⊥CE于G,OH⊥DF于H(如图3)
    
    由证法1知AC=AD,∴∠CAP=∠DAP
    即AO平分∠EAF,∴OG=OH,(角平分线上的点到角的两边距离相等)
    故 CE=DF。(同圆中相等的弦心距所对应的弦相等)
    注:同圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦及这两条弦的弦心距这四组量中有一组量相等,那么其余三组量也分别相等。证法1、证法2、证法3的出发点都是基于这条推论。(能否利用圆心角相等来证明本题中的结论呢?同学们不妨一试。)
    五、考虑到圆的对称性
    
    证法5:如图4,因为连心线OO是两圆的对称轴,A在 OO上,C,D为两圆的交点,E,F分别是AC,AD的延长线与⊙O的交点,所以点C与点D,点E与点F均关于连心线OO对称,从而线段CE与DF关于直线OO对称,故CE=DF。(轴对称的线段是相等的线段)
    由此可见,根据题目所给的条件,结合图形的特点,联想课本中的有关定理(推论)性质等,容易找到解决问题的基本途径,从而提高复习效率。
    练习:如图,梯形ABCD中,AB⊥BC,以AD为直径的⊙O交AB于N,切BC于M。
    求证:
    
    (提示:本题不少于五种证法) (责任编辑:admin)
织梦二维码生成器
顶一下
(0)
0%
踩一下
(0)
0%
------分隔线----------------------------
中考语文
中考数学
中考英语
中考物理
中考化学
中考政治
中考历史
中考地理
中考生物
备考经验