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中考规律猜想题赏析

http://www.newdu.com 2018-12-06 人民教育出版社 佚名 参加讨论

    中考规律猜想题赏析
    江西省安福县城关中学 曹经富
    在近几年各地中考中,规律猜想题深受命题者的青睐与关注,此类题作为一种重要的研究问题的方法和探索发现新知识的重要手段,非常有利于同学们创造性思维能力的培养与训练,它不仅给中考试题的形式和内容注入了新的活力,而且给当前的课堂学习带来了重大影响,此类题经常成为中考中考查知识、能力与数学思想方法的载体.
    规律猜想题指的是在特定的背景、情境或某些条件下(可以是函数关系式、有规律的数或式、特定的生活情景、流程图、某种特征的图形、图案或图表),认真分析,仔细观察,提取相关的数据、信息,进行适当的分析、综合归纳,作出大胆猜想,得出结论,进而加以验证或解决问题的数学探索题。其解题思维过程是:从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论,而解决规律性问题关键在于猜想,猜想是一种直觉思维,通过对研究对象的实验、观察和归纳、从而猜想它的规律和结论的一种思维方法.猜想往往依据直觉来获得,而恰当的归纳推理可以使猜想更准确.在进行归纳推理与猜想时,要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律.
    为此要求我们能在一定的背景或特定的条件(已知条件或所提供的若干个特例)下,通过观察、分析、比较、概括、归纳和猜想,从中发现有关数学对象所具有的某种规律或不变性的结论和数学本质的内容,进而利用这个规律或结论进一步解决相关的实际问题。它体现了“从特殊到一般”及转化的数学思想方法,一般的解题思路是通过观察,进而寻找规律,猜想出相关的结论并加以验证。出现的形式可能以填空、选择或解答为主.现结合近年的中考试题来说明规律猜想题的酝酿与发现,希望能给大家带来一定的启示与帮助.
    一、在函数图象中酝酿与发现
    例1: (福州)如图,直线,点A1坐标为(1,0),过点A1作x轴的垂线交直线于点B1,以原点O为圆心,OB1长为半径画弧交x轴于点A2;再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画弧交x轴于点A3,…,按此做法进行下去,点A5的坐标为         
                    
    思路点拨与解析:由直线,可知,得到,得到,可知的坐标为(2,0),同理可知的坐标为(4,0)…,的坐标为(,0)
    点评:先探讨某种情境中简单情况下存在的某个结论,然后进一步推广到一般情况下,这是探究问题的一种经验或一种模式,这种思维方式或者说解题方法应引起我们的关注与重视.解题的关键是如何选择切入点及由特殊到一般或由简单到复杂的思维模式,利用类比的数学思想解决问题,这些本质相同的问题解决办法是都进行列举与归纳推理,即从列举对象的一切特殊情形的前提中,推出关于全部对象的一般结论的推理方法.
    二、在生活图景中酝酿与发现
    2(湖北省恩施州)(1)计算:如图①,直径为的三等圆⊙O、⊙O、⊙O两两外切,切点分别为A、B、C ,求OA的长(用含的代数式表示).
    
    (2)探索:若干个直径为的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放,探索并求出这两种方案中层圆圈的高度(用含的代数式表示).
    

    ②
    
 
(3)应用:现有长方体集装箱,其内空长为5米,宽为3.1米,高为3.1米.用这样的集装箱装运长为5米,底面直径(横截面的外圆直径)为0.1米的圆柱形钢管,你认为采用(2)中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多?并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管?(≈1.73)
    思路点拨:有关两圆相切的问题,常作圆心距,在图①,通过添加辅助线构造等边三角形,OA恰好为等边三角形的高,借助勾股定理便可求解;在图③中,一层的高度恰好为两层的高度恰好为+三层的高度恰好为+ 四层的高度恰好为+ 层圆圈的高度+
    解析(1)∵⊙O、⊙O、⊙O两两外切, ∴OO=OO=OO=a, 又∵OA= OA
      ∴OA⊥OO , ∴OA=  =
    (2)  ==,             
    (3)       方案二装运钢管最多。即:按图10③的方式排放钢管,放置根数最多.
    根据题意,第一层排放31根,第二层排放30根,
    设钢管的放置层数为n,可得
    解得, ∵ 为正整数 ,∴=35
    钢管放置的最多根数为:31×18+30×17=1068(根)
    点评:解这类问题的关键弄清题意,结合图形,将实际问题转化为数学问题,从整体上把握圆形堆放的高度与层数之间的变化规律或趋势及不变量,根据层数的特征选用恰当的代数式或等式进行准确表示。运用空间思维和想象,进行大胆的猜想,构建相应的数学模型,并用以解决问题.
    三、在图形的叠加中酝酿与发现
    3(湖南衡阳)如下图是一组有规律的图案,第1个 图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,……,第n(n是正整数)个图案中由         个基础图形组成.
    
    思路点拨与解析:从前三个图形可找出规律,第1个图案基本图形的个数为:4=1×3+1;第2个图案基本图形的个数为:7=2×3+1;第3个图案基本图形的个数为:10=3×3+1;… …,所以第n个图案基本图形的个数为:n×3+1=3n+1.
    点评:解这类问题的关键在于从简单的情形入手,逐个观察、发现、归纳图形中的变化规律、变化趋势及不变化的量,寻找出内在的规律与图案叠加个数之间关系式构建相应的数学模型,主要是考查我们的观察能力、发现能力、分析判断能力、逻辑推理能力和猜想规律能力.
    四、在数列或等式中酝酿与发现
    4:(广东中山)阅读下列材料:
    
    
    
    由以上三个等式相加,可得
    读完以上材料,请你计算下列各题:
    (1)(写出过程);
    (2)=     
    (3)=     
    思路点拨与解析:在所给的一系列等式中,既要观察横向的变化规律,也要观察纵向的变化规律:等式左边的第一列数比第二列数小1,等式右边的第一列数为常量,括号内的列数也依次递增1。(1)
    =++…+
    ==440.
    (2)
    (3)
    =+
    +…+==1260
    点评:解这类问题的关键在于既要从整体上把握数列的横向的变化规律或趋势及不变量,又要从整体上把握数列的纵向的变化规律或趋势及不变量,根据数列的特征选用恰当的代数式或等式进行准确表示.
    五、在几何图形中酝酿与发现
    
    5(嘉兴)如图,已知⊙O的半径为1,PQ是⊙O的直径,n个相同的正三角形沿PQ排成一列,所有正三角形都关于PQ对称,其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合,第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点,…,最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上.
    (1)如图1,当n=1时,求正三角形的边长
    (2)如图2,当n=2时,求正三角形的边长
    (3)如题图,求正三角形的边长 (用含n的代数式表示).
    思路点拨:因所有正三角形都关于直径PQ对称,构建垂径定理即始终被直径PQ垂直平分,连接构造直角三角形运用勾股定理列成方程便可求解
    解析 (1)在图2中,交于点D,连结,则,在中,,即,解得
    (2)在图3中,设交于点E,连结,则
    在,即,解得.    
    (3)在图1中,设交于点F,连结,则
    在,即,解得.    
    点评:解这类问题的关键在于从简单问题入手,通过观察、分析、推理、发现与猜想,注意把握相关图形的性质与内在联系,进而寻找出解题方法与技巧,逐步进行推广、拓展与应用,化特殊为一般,借助圆的轴对称性,构建垂径定理,是所有与圆有关性质的核心与基础,进而利用圆的半径、弦心距、弦长的一半借助勾股定理构建方程进行求解,这是一种常用的方法与技巧;解决本题还应注意如何用正三角形的边长表示弦心距OD的长及正三角形的高.
    六、在流程图中酝酿与发现
    6如图所示的运算程序中,若开始输入的值为48,我们发现第1次输出的结果为24,第2次输出的结果为12,……第2011次输出的结果为___________
    
    思路点拨与解析:这是一道分类考虑的程序流程题,解题的关键是确定输入的数据是奇数还是偶数,再按要求选择相应的代数式将傎代入求解,通过计算,会发现从第3次开始,这个程序输出的将以6、3、6、3循环,每两次一循环,由此20011-2=2009=1004×2+1,从而判断出第2011次输出的结果为6.
    点评:这是一道以数字转换循环计算为背景的代入求傎的程序题,解题的关键是弄清流程图所表示的含义,要注意确定代入的数根据奇、偶性选择相应的代数式徨计算.
    七、在表格中酝酿与发现
    7(贵州遵义)小明玩一种的游戏,每次挪动珠子的颗数与对应所得的分数如下表:
    

    挪动珠子数(颗)
    

    2
    

    3
    

    4
    

    5
    

    6
    

    ……
    

    对应所得分数(分)
    

    2
    

    6
    

    12
    

    20
    

    30
    

    ……
    

     当对应所得分数为132分时,则挪动的珠子数为      颗.
    思路点拨与解析:观察表格可发现规律,挪动珠子数n+1颗,则对应所得分数为n(n+1)分。由此可建立方程得n(n+1)=132,解得n=11,故挪动的珠子数为12颗
    点评:这类以表格为载体,需要从中获取解题信息。解这类问题的关键在于结合表格中所给数据,分析、发现出表格中横行与纵列各个数据之间的内在联系,从特殊到一般,并用与表格相关的序列、数字、相应的字母、代数式等表示出表格中数列横向与纵向的变化趋势或规律.
     在变换操作中酝酿
    例8:(江西)课题:两个重叠的正多边型,其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题.
    实验与论证
    设旋转角∠A1A0B1=α(α< A1A0A2), θ3,θ4,θ5,θ6所表示的角如图所示.
    

(1)       用含α的式子表示角的度数:θ3=___________θ4=_____________θ5=____________
    (2)图1-图4中,连接A0H时,在不添加其他辅助线的情况下,是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段?若存在,请选择期中的一个图给出证明;若不存在,请说明理由;
    归纳与猜想
    设正n边形A0A1A2An-1与正n边形A0B1B2Bn-1重合(其中,A1B1重合),现将正n边形A0B1B2Bn-1绕顶点A0逆时针旋转α().
    (3)设θn与上述“θ3θ4,…”的意义一样,请直接写出θn的度数;
    (4)试猜想在正n边形的情形下,是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段?若存在,请将这条线段用相应的顶点字母表示出来(不要求证明);若不存在,请说明理由.
    
    思路点拨:(1)要求的度数,应从旋转中有关角度的变与不变上突破;(2)结合图形比较容易得到被垂直平分的线段,在证明时要充分利用背景中正多边形及旋转中的角度;(3)要探究的度数,要注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与求解度数的表达式;(4)要探究正n边形中被垂直平分的线段,只要观察图形的对称性就可以找到解题的途径.也应注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与突破;
    解析:(1)
    (2)答案不唯一,选图1,图1中有直线垂直平分
    证明:∵是全等的等边三角形,∴,∴,∴,∴点在线段的垂直平分线上,所以直线垂直平分
    (3)当为奇数时,,当为偶数时,
    (4)存在,当为奇数时,直线垂直平分
    当为偶数时,直线垂直平分
    点评:本题以课题学习为背景及方式呈现,通过 “两个重叠的正多边形,其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题”的探讨.是研究一个由特殊到一般结论的数学问题,先从简单特殊的几种正多边形入手,再推广到正n边形情形下规律的探究,在试验论证归纳的过程中所涉及的,要考查的初中知识点并不多,主要考查学生的思维能力、探究问题的能力和归纳推理能力.试题呈现形式,设问角度有所创新,数学问题研究模式以及题中蕴含的丰富的数学思想方法和深刻的数学内涵,为学生、广大教师后期学习和教学有着很大的启发作用,并能运用这种探究思路和类比迁移的数学思想,去观察发现错综复杂的数学世界.体现了从特殊到一般,从简单到复杂,从“提出基本事实→解决具体问题→归纳整合方法→实现思维升华”的完整思维过程,在解答本题过程中可以充分体验与领悟到从“特殊到一般”的数学思想,这也正是学习数学乃至认识一切事物的重要方式之一(同化与演绎).
    作者简介:曹经富,男,中学高级教师,数学教研组长,立足课堂教学,潜心钻研中考及解题研究,发表文章200余篇,主编书稿4本。
    实战演练(请读者根据需要选用)
    1.(江苏常州)如图,圆圈内分别标有0,1,2,3,4,…,11这12个数字。电子跳蚤每跳一次,可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈,现在,一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始,按逆时针方向跳了2010次后,落在一个圆圈中,该圆圈所标的数字是      
    
    2.(2010 四川成都)已知是正整数,是反比例函数图象上的一列点,其中.记是非零常数),则A1·A2·…·An的值是________________________(用含的代数式表示).
    3.(湖北孝感)用“O”摆出如图所示的图案,若按照同样的方式构造图案,则第10个图案需要   个“O”。
    4.(四川乐山)勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.如图是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树,树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1,第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S,…,第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn.设第一个正方形的边长为1.
    
    请解答下列问题:
    (1)S1=__________;
    (2)通过探究,用含n的代数式表示Sn,则Sn=­­­­­­__________.
    5.(广东中山)如图(1),已知小正方形ABCD的面积为1,把它的各边延长一倍得到新正方形;把正方形边长按原法延长一倍得到正方形(如图(2));以此下去,则正方形的面积为     
    
    6.(安徽)下面两个多位数1248624……、6248624……,都是按照如下方法得到的:将第一位数字乘以2,若积为一位数,将其写在第2位上,若积为两位数,则将其个位数字写在第2位.对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……,后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字是3时,仍按如上操作得到一个多位数,则这个多位数前100位的所有数字之和是……………(    )
    A.495      B.497   C.501     D.503
    7.(贵州贵阳)标系中,已知点的坐标为(1,0),将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45,再将其延长到,使得,得到线段;又将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45,再将其延长到,使得,得到线段,如此下去,得到线段,…,
    (1)写出点M5的坐标;
    
    (2)求的周长;
    (3)我们规定:把点0,1,2,3…)
    的横坐标,纵坐标都取绝对值后得到的新坐标
    称之为点的“绝对坐标”.根据图中点
    的分布规律,请你猜想点的“绝对坐标”,并写出来.
    8.(顺义)如图,直线学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!平行于直线学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!,且与直线学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!相交于点学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!
    (1)求直线学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!的解析式;
    (2)直线学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!y轴交于点A.一动点学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!从点A出发,先沿平行于x轴的方向运动,到达直线学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!上的点学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!处后,改为垂直于x轴的方向运动,到达直线学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!上的点学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!处后,再沿平行于x轴的方向运动,到达直线学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!上的点学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!处后,又改为垂直于x轴的方向运动,到达直线学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!上的点学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!处后,仍沿平行于x轴的方向运动,……
    照此规律运动,动点学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!依次经过点学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!,…,学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!,…
    ①求点学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!的坐标;
    ②请你通过归纳得出点学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!的坐标;并求当动点学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!到达学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!处时,运动的总路径的长.
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    9.(山东省德州) ●探究   (1) 在图1中,已知线段ABCD,其中点分别为EF
    
    ①若A (-1,0), B (3,0),则E点坐标为__________;
    ②若C (-2,2), D (-2,-1),则F点坐标为__________;
    (2)在图2中,已知线段AB的端点坐标为A(ab) B(cd),
    求出图中AB中点D的坐标(用含abcd
    代数式表示),并给出求解过程.
    
    ●归纳  无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置,
    当其端点坐标为A(ab),B(cd), AB中点为D(xy) 时,
    x=_________,y=___________.(不必证明)
    ●运用  在图2中,一次函数与反比例函数
    
    的图象交点为AB
    ①求出交点AB的坐标;
    ②若以AOBP为顶点的四边形是平行四边形,
    请利用上面的结论求出顶点P的坐标.
    参考答案
    1. 6  2. 3. 181  4. 1+;(1+)·()n -1(n为整数) 5. 625  7. A
    7.:M5(―4,―4)
    (2)由规律可知,,
    ∴的周长是
    (3)由题意知,旋转8次之后回到轴的正半轴,在这8次旋转中,点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上,但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数,因此,点的“绝对坐标”可分三类情况:
    令旋转次数为
    ①     当点Mx轴上时: M0),M4),M8M12),…,
    即:点的“绝对坐标”为()。
    ②     当点My轴上时: M2M6M10M14,……,
    即:点的“绝对坐标”为
    ③     当点M在各象限的分角线上时:M1M3M5M7,……,即:的“绝对坐标”为
    8.解:(1)由题意,得  学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!  解得  学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!
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    (2)① A点坐标为 (0,1),
    则学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!点的纵坐标为1,设学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!
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    ②经过归纳得  学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!. 
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    即 学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!
    9.解: 探究   (1)①(1,0);②(-2,);
    (2)过点A,D,B三点分别作x轴的垂线,垂足分别为
    
     ,则
    ∵D为AB中点,由平行线分线段成比例定理得
    =
    ∴O=
    
    即D点的横坐标是
    同理可得D点的纵坐标是
    ∴AB中点D的坐标为().
    归纳:
    运用①由题意得解得.∴即交点的坐标为A(-1,-3),B(3,1) .
    ②以AB为对角线时,由上面的结论知AB中点M的坐标为(1,-1) .∵平行四边形对角线互相平分,∴OM=OP,即MOP的中点.∴P点坐标为(2,-2) .同理可得分别以OA,OB为对角线时,点P坐标分别为(4,4) ,(-4,-4) .
    ∴满足条件的点P有三个,坐标分别是(2,-2) ,(4,4) ,(-4,-4) . (责任编辑:admin)

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