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中考中的一次函数应用题求解策略 湖北省黄市市下陆中学 宋毓彬 1 试题概述 一次函数应用题，因其综合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，能实现数与形有机地结合，能体现分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法，并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值，近年来一直是中考命题的热点。此外，由于中考考查二次函数内容时，大多是以二次函数与几何相结合的压轴题形式出现，而反比例函数应用题命题的范围又相对狭窄，因此一次函数应用题就一直是中考试题中最频繁出现的考点。 一次函数应用题考查的最主要考点集中在三个方面：⑴学生对数形结合的认识和理解；⑵将实际问题转化为一次函数的能力，即数学建模能力；⑶分类讨论、极端值、对应关系、有序性的数学思想方法的考查。⑷对一次函数与方程、不等式关系的理解与转化能力。 一次函数试题的命题形式多样，从近几年的中考题来看，可以大致归为以下几类：⑴方案设计问题（物资调运、方案比较）；⑵分段函数问题（分段价格、几何动点）；⑶由形求式（单个函数图象、多个函数图象）。⑷一次函数多种变量及其最值问题。 2 试题例析 2.1方案设计问题 ⑴物资调运 例1.（2008年重庆第27题）为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县。根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。 （1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？ （2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案； （3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：
为即使将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？ 解析：本题题干文字长，数量关系复杂，但只要弄懂了题意，并结合表格将数量关系进行整理，解决起来并不难。 ⑴直接用一元一次方程求解。运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨，设运往E县m吨，则运往D县（2m-20）吨，则m+（2m-20）=280，m=100，2m-20=180。（亦可用二元一次方程组求解） ⑵由⑴中结论，并结合题设条件，由A地运往D的赈灾物资为x吨，可将相应数量关系列表如下：
表格说明：①A、B、C、D、E各地后括号中的数字为调运量或需求量； ②表格中含x的式子或数字，表示对应地点调运数量； ③表格中其他括号中的数字，表示对应的调运费用。 确定调运方案，需看问题中的限制条件：①B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。②B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。故：  解得  ∴40＜x≤45 ∵x为整数∴x的取值为41，42，43，44，45 则这批救灾物资的运送方案有五种。 方案一：A县救灾物资运往D县41吨，运往E县59吨； B县救灾物资运往D县79吨，运往E县21吨。 （其余方案略） ⑶设运送这批赈灾物资的总费用为y，由⑵中表格可知： y=220x+250（100-x）+200（120-x）+220（x-20）+200×60+210×20 =-10x+60800 ∵y随x增大而减小，且40＜x≤45，x为整数， ∴当x=41时，y有最大值。 该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是：y=-10×41+60800=60390（元） 求解物资调运问题的一般策略： ⑴用表格设置未知数，同时在表格中标记相关数量； ⑵根据表格中量的关系写函数式； ⑶依题意正确确定自变量的取值范围（一般通过不等式、不等式组确定）； ⑷根据函数式及自变量的取值范围，结合一次函数的性质，按题设要求确定调运方案。 物资调运问题应用广泛，包括调水、调运物资、分配物资等多种类型。 ⑵方案比较 例2.（2008年盐城）在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元）。现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购买门票的价格为每张60元；（总费用=广告赞助费+门票费） 方案二：购买方式如图2所示。  解答下列问题： ⑴方案一中，y与x的函数关系式为 ；方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为 ，当x＞100时，y与x的函数关系式为 。 ⑵如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由。 ⑶甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 解析：这是一个两种方案的比较问题。方案比较通常与不等式联系紧密。比较优惠条件，即通过比较函数值的大小，确定自变量的区间。 ⑴中方案一的函数关系式，直接依题意写出：y1=60x+10000（x≥0）；方案二的函数关系由图象给出，用待定系数法求解。当0≤x≤100时，图象为过原点的线段，函数式为正比例函数，可求得y2=100x（0≤x≤100）；当x＞100时，图象为不过原点的射线，函数式为一次函数，过（100，10000），（150，14000），可求得y2=80x+2000（x＞100）。 ⑵购买门票超过100张，比较那种方案最省，了先使y1=y2，求出此时x的值。然后利用不等式确定方案。 当y1=y2时，60x+10000=80x+2000，解得x=400，即购买400张门票，两种方案费用相同。 当y1＞y2时，解得x＜400，则当100＜x＜400时，选择方案二，总费用最省； 当y1＜y2时，解得x＞400，则当x＞400时，选择方案一，总费用最省。 ⑶分两种情况讨论：（用方程求解） ①甲单位按方案购买的门票少于100张时，设甲买m（m＜100）张，则乙买700-m张。 100m+60（700-m）+10000=58000 解得m=150（不合题意，舍去） ②甲单位按方案购买的门票少于100张时，设甲买m（m＞100）张，则乙买700-m张 80m+2000+60（700-m）+10000=58000 解得m=200，700-m=500 求解方案比较问题的一般策略： ⑴在方案比较问题中，不同的方案有不同的函数式。因此首先需设法求出不同方案各自的函数式。求函数式时，有图象的，多用待定系数法求；没有给出图象的，直接依题意进行列式。 ⑵方案比较问题通常都与不等式、方程相联系。比较方案，即比较同一自变量所对应的函数值。要会将函数问题转化为方程、不等式问题。 ⑶方案比较中尤其要注意不同的区间，多对应的大小关系不同。 方案比较问题，在门票、购物、收费、设计等问题中都可涉及。 2.2分段函数问题 ⑴分段价格 例3.（2008年襄樊第23题）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费  元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨 元（b＞a）收费．设一户居民月用水 吨，应收水费 元，与之间的函数关系如图13所示． （1）求 的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？（2）求 的值，并写出当x＞10时，与之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？ 解析：（1）当  时，有 ．将 ， 代入，得 ． 用8吨水应收水费  （元）． （2）当x＞10时，有  ． 将 ， 代入，得  ∴ ． 故当x＞10时， ．（3）因  ，所以甲、乙两家上月用水均超过10吨． 设甲、乙两家上月用水分别为 吨，吨，则  解之，得 故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨． 解分段价格问题的一般策略： ⑴分段函数的特征是：不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图象是一个折线。解决分段函数问题，关键是要与所在的区间相对应。 ⑵分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上。在求解析式要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值。 ⑶分段函数应用广泛，在收费问题、行程问题及几何动态问题中都有应用。 ⑵几何图形中的动点 例4.（2008年长沙第25题）在平面直角坐标系中，一动点P（  ，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动。图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间 （秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分.  （图①） （图②） （图③） （1）s与 之间的函数关系式是： ；（2）与图③相对应的P点的运动路径是： ；P点出发 秒首次到达点B； （3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象. 解析：(1)由图象可知为正比例函数。S=  (t≥0) (2)由图象③，M纵坐标为0变为1，则路径为：M→D→A→N， 10秒(3)当3≤s＜5，即P从A到B时，y=4-s； 当5≤s＜7，即P从B到C时，y=-1； 当7≤s≤8，即P从C到M时，y=s-8．（补全图象略．） 求解几何图形中的动点问题一般策略： ⑴解决几何图形中的动态问题，关键是看动点运动的路径，在不同的路径上，所对应的线段长（高）等不同，由此引起其它变量的变化。因此根据不同路径以确定自变量的变化区间至关重要。 ⑵在不同的区间上求函数表达式，应注意紧密结合几何图形的特征，会将将函数中的变量关系转化为几何图形上的对应线段关系。 ⑶动点（动线）问题，引起图形中相关量的变化，多以面积为主。本题给出的坐标变化相对降低了难度。但给出的图象较多，涉及到路程与时间、路程与坐标三个变量，共两种函数，在解决问题时，应认真审题。 2.3数形结合由“形”求式 ⑴单个函数图象 例5.（2008年南京）28．（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为  ，两车之间的距离为 ，图中的折线表示与之间的函数关系．  根据图象进行以下探究： 信息读取 （1）甲、乙两地之间的距离为 km； （2）请解释图中点  的实际意义；图象理解 （3）求慢车和快车的速度； （4）求线段  所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；问题解决 （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ 解析：（1）900； （2）图中点 的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇． （3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，所以慢车的速度为  ； 当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为  ，所以快车的速度为150km/h． （4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶  到达乙地，此时两车之间的距离为 ，所以点 的坐标为 ．设线段 所表示的与之间的函数关系式为 ，把 ，代入得 解得 所以，线段 所表示的与之间的函数关系式为 ． 自变量 的取值范围是 ． （5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h． 把  代入，得 ．此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是  ，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h．单个函数图象求“式”的一般策略： ⑴单个函数图象，尤其是折线图，在读图过程中一定要正确认识和理解图形上点的坐标的实际意义。 ⑵要关注“折点”所表示的意义，用好折点坐标。 ⑶用图象求函数式，多用待定系数法，因此要善于寻找图象上点的坐标。一方面可以从图象上寻找，此外还可以结合题设中的条件寻找。 ⑵多个函数图象 例6 （2008年泰州第28题）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震。某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区。乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）。图中的折线、线段分别表示甲、乙两组所走路程  (千米)、 (千米)与时间x（小时）之间的函数关系对应的图像。请根据图像所提供的信息，解决下列问题： （1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了_________小时；（2分） （2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区。请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（6分） （3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不过25千米。请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定。 解析：本题由甲乙两个互相关联但又不同的行程问题构成，函数图象之间彼此相交。要解决好所求问题，必须深入认识和理解图象中的信息，尤其是已知点坐标的实际意义。 （1）由图象可知：AB段发生故障。时间为4.9-3=1.9 （小时） (2)要求甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米。即要求出B点的纵坐标。点B在线段BD上，且横坐标为4.9。只需求出BD所在直线的解析式即可。C是BD、EF交点，C点的横坐标为6，求出直线EF的解析式，则可得到C点坐标。从而求出BD解析式，得到B点纵坐标。 设直线EF的解析式为  乙=kx+b∵点E(1.25,0)、点F（7.25,480）均在直线EF上∴  解得 ∴直线EF的解析式是y乙=80X-100 ∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6， ∴点C的纵坐标为80×6—100=380 ∴点C的坐标是（6，380） 设直线BD的解析式为y甲 = mx+n ∵点C（6，380）、点D（7，480）在直线BD上 ∴  解得 ∴BD的解析式是y甲=100X -220 ∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入y甲得B（4.9，270） ∴甲组在排除故障时,距出发点的路程是270千米。 （3）符合约定 由图像可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远。 在点B处有y乙—y甲=80×4.9—100—（100×4.9—220）=22千米＜25千米 在点D有y甲—y乙=100×7—220—（80×7—100）=20千米＜25千米 ∴按图像所表示的走法符合约定 多个函数图象求式问题的一般策略： ⑴一题中有多个函数图象时，尤其要关注图象交点的坐标。因其交点坐标同时满足两个图象的关系式。 ⑵分析多个函数图象时，还应关注其交点两侧图象的上下位置关系。图象在上方的函数图象，同一个自变量所对应的函数值大。由此可比较两个函数图象所表示函数式之间的变化关系。 2.4多变量及其最值问题 例7（2008年泰安第25题）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数 （亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益 （元）会相应降低，且与之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．  （1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？ （2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数 和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益  （元）最大，政府应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值．解析：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为：  （元）（2）由题意可设 与的函数关系为 将 代入上式得  ∴ ∴种植亩数与政府补贴的函数关系为 同理可得，每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为  （3）由题意   ∴u  ∴当  ，即政府每亩补贴450元时，全市的总收益额最大，最大为7260000元．解多个变量及其最值问题的一般策略： ⑴一个问题中涉及多个变量，往往对应着多个函数式。因此在求解过程中，一定要理清变量之间的对应关系，正确求出不同的函数式。 ⑵求函数的最值问题，一次函数主要运用一次函数性质求。二次函数则可用配方法或公式法求。 ⑶对于函数式的求取，则主要是用列式法和待定系数法。 作者简介：宋毓彬，男，44岁，中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《中学数学》、《中学生数学》、《数理天地》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《少年智力开发报》、《学习报》、《小博士报》等报刊发表教学辅导类文章70多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究。 (责任编辑：admin) |