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2022年初中数学三角函数和差公式

http://www.newdu.com 2022-04-27 中考网 佚名 参加讨论

    1 积化和差公式
    sinα·cosβ=(1/2)[sin(αβ)sin(α-β)]
    cosα·sinβ=(1/2)[sin(αβ)-sin(α-β)]
    cosα·cosβ=(1/2)[cos(αβ)cos(α-β)]
    sinα·sinβ=-(1/2)[cos(αβ)-cos(α-β)]
    sinαsinβ=2sin[(αβ)/2]cos[(α-β)/2]
    sinα-sinβ=2cos[(αβ)/2]sin[(α-β)/2]
    cosαcosβ=2cos[(αβ)/2]cos[(α-β)/2]
    2和差化积公式
    sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
    sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
    cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
    cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
    3和差化积公式推导过程
    首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
    我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
    所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
    同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
    同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
    所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
    所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
    同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
    这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
    sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
    cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
    cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
    sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
    好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
    我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
    把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
    sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
    sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
    cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
    cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
    4两角和与差的三角函数公式
    sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
    sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
    cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
    cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
    tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
    tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
     (责任编辑:admin)
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