初中数学三角形全等的判定+性质+辅助线知识点(5)
http://www.newdu.com 2025/09/24 04:09:54 中考网 佚名 参加讨论
例1：已知如图1-1：D、E为△ABC内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE. （法1）证明：将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE；（1） 在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2） 在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3） 由（1）＋（2）＋（3）得： AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC （法2）如图1-2，延长BD交AC于F，延长CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有： AB＋AF＞BD＋DG＋GF（三角形两边之和大于第三边）（1） GF＋FC＞GE＋CE（同上）（2） DG＋GE＞DE（同上）（3） 由（1）＋（2）＋（3）得： AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理： 例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。 分析：因为∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置。 证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角， ∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC， ∴∠BDC＞∠BAC 证法二：连接AD，并延长交BC于F ∵∠BDF是△ABD的外角 ∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD ∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD 即：∠BDC＞∠BAC。 注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。 (责任编辑：admin) |
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